Une erreur de raisonnement

Bonjour
J'ai fait une erreur de raisonnement dans ce qui suit, mais je ne parviens pas à déterminer laquelle.
Je vous soumets le problème.

On dispose de $n$ boules indiscernables que l'on range aléatoirement dans $N$ tiroirs.
On cherche à connaître la probabilité que 2 tiroirs exactement soient non vides.

Voici mon raisonnement (qui est faux) :
- Peu importe où je range la première boule.
- Je dois ranger la deuxième boule dans un autre tiroir : proba = $\dfrac{N-1}{N}$.
- Les $n-2$ autres boules doivent être rangées dans les deux tiroirs choisis précédemment : proba = $\Big( \dfrac{2}{N} \Big)^{n-2}$
Cela fait au total une proba égale à $1 \times \dfrac{N-1}{N} \times \Big( \dfrac{2}{N} \Big)^{n-2} = \dfrac{N(N-1)2^{n-2}}{N^{n}}$.
Le résultat correct que je devrais trouver est : $\dfrac{N(N-1)(2^{n-1}-1)}{N^{n}}$.

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer où mon raisonnement est défaillant ?
Merci d'avance pour votre aide,
$\alpha$-Nico