Sup des fonctions mesurables
Bonjour,
Comment je prouve que la borne supérieure de deux fonctions mesurables est une fonction mesurable avec une méthode autre que la méthode classique ?
Merci beaucoup
Comment je prouve que la borne supérieure de deux fonctions mesurables est une fonction mesurable avec une méthode autre que la méthode classique ?
Merci beaucoup
Réponses
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Bonsoir,
Je ne sais pas quelle est la méthode classique dont tu parles. On peut dire que $\max(f,g) = \frac12(f+g+|f-g|)$ qui est mesurable comme composée de fonction mesurables. Ou bien on peut dire que $\max(f,g) = f\cdot \mathbf{1}_{(f-g)^{-1}([0,+\infty[)} + g\cdot \mathbf{1}_{(f-g)^{-1}(]-\infty,0[)}$. Il y a sûrement d'autres possibilités. -
Tu peux utiliser la composition de fonctions mesurables.
$\Omega \rightarrow \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \\
x\mapsto (f(x),g(x))\mapsto \max(f(x),g(x))$ -
Je vois pas pourquoi se priver de la mesurabilité de la somme, mais bon. Tu peux dire que $\max(f,g)^{-1}(]-\infty,a])=f^{-1}(]-\infty,a])\cap g^{-1}(]-\infty,a])$ est dans la tribu et utiliser le fait que les $]-\infty,a]$ engendrent la tribu des boréliens de $\mathbb{R}$.
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Tout cela me semble assez équivalent.
A propos, il est intéressant de noter qu'il n'est pas si facile de montrer que la somme de deux fonctions mesurables est mesurable sans passer par une tribu produit. -
Plutôt que composer et utiliser le théorème "mesurable ssi projections mesurables", dont la preuve utilise les propriétés de le mesure produit, la méthode pour montrer que le max est mesurable permet directement de conclure pour max(f,g). -
Bah ça fait un choix de plus pour mehdi. Comme ça il aura l'embarras du choix :-S
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