Sup des fonctions mesurables
Bonjour,
Comment je prouve que la borne supérieure de deux fonctions mesurables est une fonction mesurable avec une méthode autre que la méthode classique ?
Merci beaucoup
Comment je prouve que la borne supérieure de deux fonctions mesurables est une fonction mesurable avec une méthode autre que la méthode classique ?
Merci beaucoup
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Réponses
Je ne sais pas quelle est la méthode classique dont tu parles. On peut dire que $\max(f,g) = \frac12(f+g+|f-g|)$ qui est mesurable comme composée de fonction mesurables. Ou bien on peut dire que $\max(f,g) = f\cdot \mathbf{1}_{(f-g)^{-1}([0,+\infty[)} + g\cdot \mathbf{1}_{(f-g)^{-1}(]-\infty,0[)}$. Il y a sûrement d'autres possibilités.
Je cherche une méthode sans utiliser la somme des fonctions mesurables est mesurable
$\Omega \rightarrow \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \\
x\mapsto (f(x),g(x))\mapsto \max(f(x),g(x))$
A propos, il est intéressant de noter qu'il n'est pas si facile de montrer que la somme de deux fonctions mesurables est mesurable sans passer par une tribu produit.
Faut bien que mehdi fasse quelque chose aussi... (:P)
Plutôt que composer et utiliser le théorème "mesurable ssi projections mesurables", dont la preuve utilise les propriétés de le mesure produit, la méthode pour montrer que le max est mesurable permet directement de conclure pour max(f,g).