EDS semi-martingale

L'analogue principal du théorème de Cauchy-Lipschitz pour les EDS s'appelle Yamada-Watanabe. Il donne l'existence de et l'unicité de solutions sous-certaines conditions (solution faible + unicité trajectorielle), elles-mêmes assurées par exemple par des conditions sur la croissance des solutions (du genre "[large]L[/large]ipschitz bornée"). C'est un théorème de ce genre que tu cherches ?
Il existe aussi des versions de ce théorème en dimension infinie, ou encore pour des processus avec sauts poissoniens...

Quant au drift de $X$, tu peux toujours le faire partir s'il est continu déterministe en considérant $Y_t = e^{-\mu(t)}X_t$ car l'IPP d'Itô dit que $dY_t = -\mu'(t)e^{-\mu(t)}X_t dt + e^{-\mu(t)}dX_t = (b(t)-\mu'(t))Y_tdt + \sigma(t)Y_tdB_t$.
Avec $\mu$ une primitive de $b$, tu retrouves une martingale locale, comme tu as l'habitude d'en avoir. L'espérance et la variance sont un peu modifiées.
(note que j'ai pris une log-normale $\dfrac{dX_t}{X_t} = b(t)dt + \sigma(t)dB_t$, ce qui arrive souvent dans les cas simples en finance. Cf ton cours sur l'exponentielle de Doléans-Dade ou cf ton cours sur le puissant théorème de Girsanov et les critères sympas du type Novikov).

[Rudolf Lipschitz (1832-1903) prend toujours une majuscule. AD]

Et bien ça dépend. Tu cherches des solutions faibles ? fortes ? leur unicité ?

La première étape est d'expliciter le drift et la volatilité du processus $Z_t$. Est-ce que $(Z_t)$ est une semi-martingale plus simple que $(X_t)$ ? A-t-on quelque chose du genre $dZ_t = a(t)dt + s(t)dB_t$ ? avec $a$ et $s$ déterministes ? Est-ce que $a$ et $s$ ont plusieurs variables $t$ et $X_t$ ? $t$ et $Z_t$ ? Il faut déjà répondre à ça, et éventuellement résoudre une première EDS portant sur $Z$.

Ensuite, tu regroupes les termes et tu cherches à résoudre une équation $dX_t = m(t,X_t)dt + S(t,X_t)dX_t$.
Supposons
- que $m$ et $S$ soient continues
- qu'il existe $K$ une constante finie telle que $|m(t,x)-m(t,y)| + |S(t,x)-S(t,y)| \leqslant K|x-y|$ pour tous $t,x,y$ (ce qu'on pourrait appeler "co-lipschitzité en espace")
- que $|m(t,x)| + |S(t,x)| \leqslant K(1+|x|)$ (ce qu'on pourrait appeler "croissance linéaire")
- qu'on cherche une solution telle que $E(X_0^2)<\infty$ (existence de la variance)

Alors pour tout $T$, il existe une unique solution forte sur $[0,T]$ et on a aussi $E\left(\sup |X_t|^2\right) < \infty$.

Tu peux aussi montrer manuellement à chaque fois le théorème avec des conditions sur-mesure. C'est comme toujours une histoire de point fixe, de lemme de Gronwall, d'inégalités de convexité, etc.

Y a pas de bonne méthode en général, ça dépend vraiment de ce que tu essaies de faire ! Dans des cas simples on identifie immédiatement la solution grâce au théorème de Feynman-Kac. Parfois, c'est plutôt de la programmation dynamique (équation de type HJB), d'autres fois tu reconnais clairement le générateur. Y a d'autres cas où c'est une "fausse" équation différentielle stochastique. D'autres cas encore, où on ne se fatigue pas et où on balance un schéma pour avoir une solution.

Aussi, ne te laisse pas avoir par la notion de solution "faible". Une solution forte est bien-sûr faible, mais tu peux très bien avoir plusieurs solutions fortes pour une unique solution faible, ou bien pas de solution forte du tout. C'est Yamada-Watanabe qui permet en général de se sortir de ce mauvais pas.
Si tu fais de la finance, on s'intéresse plutôt aux solutions fortes bien-sûr, puisque tu n'as aucun contrôle sur le brownien "du marché", et ce que tu veux c'est trouver un porte-feuille $X_t$ adapté à ce marché.