Fonction de répartition

$P(U\le x) = \sum_{n\ge 1} P(N = n) \cdot \prod_{i=1}^n P(X_i\le x)$.

Pour la loi de Poisson, je crois que les carrés ne changent pas grand chose.
$$T_n
= \sqrt{n} \cdot \big(\frac{S_n^2}{n^2}-1\big)
= \sqrt{n} \cdot \frac{S_n-n}{n} \cdot \big(\frac{S_n}{n}+1\big).$$
Or $\big(\frac{S_n}{n}+1\big)$ tend vers 2 presque-sûrement (loi forte des grands nombres) et donc en probas (loi faible), et $\sqrt{n} \cdot \frac{S_n-n}{n}$ converge en loi vers $N(0,1)$ par le TCL.
Et je crois que ça doit suffire pour la convergence en loi ? (c'est Slutsky ?)