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Espérance avec matrice

Envoyé par zahra-bssd 
Espérance avec matrice
il y a deux mois
Bonjour
SVP comment démontrer cette égalité?
X vecteur de dimension d, son espérance = µ
A une matrice carrée (d,d)
E[X'AX] = µ'Aµ + tr(A£).
Merci



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Espérance avec matrice
il y a deux mois
anyone?
Re: Espérance avec matrice
il y a deux mois
avatar
Ecris $X=\mu+Y$.
Re: Espérance avec matrice
il y a deux mois
Merci beaucoup pour votre réponse.
svp concernant la trace je n'arrive pas à l'extraire ?
Merci bcp beaucoup.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
P.
Re: Espérance avec matrice
il y a deux mois
Je suppose que le symbole de la livre anglaise que tu mets dams la trace est celui de la covariance de $Y=X-\mu.$ Appelons le plutot $\Sigma=\mathbb{E}(YY^t)$ comme tout le monde. Alors utilisant le fait que $\mathrm{trace}(MN)=\mathrm{trace}(NM)$ quand $MN$ et $NM$ ont du sens, et en appliquant ce principe a $M=AY$ et $N=Y^t:$

$$\mathrm{trace}(A\Sigma)=\mathrm{trace}(A\mathbb{E}(YY^t))\stackrel{*}{=}\mathbb{E}(\mathrm{trace}(AYY^t))=\mathbb{E}(\mathrm{trace}(Y^tAY))\stackrel{**}{=}\mathbb{E}(Y^tAY).$$ Dans ces egalites, (*) vient de la linearite de l'esperance et (**) vient du fait que la trace d'un nombre reel $r$ est $r$.
Re: Espérance avec matrice
il y a deux mois
Je vous remercie infiniment
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