Espérance avec matrice

Ecris $X=\mu+Y$.

Je suppose que le symbole de la livre anglaise que tu mets dams la trace est celui de la covariance de $Y=X-\mu.$ Appelons le plutot $\Sigma=\mathbb{E}(YY^t)$ comme tout le monde. Alors utilisant le fait que $\mathrm{trace}(MN)=\mathrm{trace}(NM)$ quand $MN$ et $NM$ ont du sens, et en appliquant ce principe a $M=AY$ et $N=Y^t:$

$$\mathrm{trace}(A\Sigma)=\mathrm{trace}(A\mathbb{E}(YY^t))\stackrel{*}{=}\mathbb{E}(\mathrm{trace}(AYY^t))=\mathbb{E}(\mathrm{trace}(Y^tAY))\stackrel{**}{=}\mathbb{E}(Y^tAY).$$ Dans ces egalites, (*) vient de la linearite de l'esperance et (**) vient du fait que la trace d'un nombre reel $r$ est $r$.