Fonction mesurable Banach
Bonjour
J'ai lu qu'une fonction mesurable $ f : X \rightarrow E$ de $X$ un espace mesuré dans $E$ un $\mathbb{R}$-Banach n'est pas nécessairement limite d'une suite de fonctions simples, comme c'est le cas lorsque $E = \mathbb{R}$.
L'auteur ne précise pas j'en déduis qu'il munit $E$ de sa tribu borélienne pour la topologie forte.
Connaissez-vous des exemples ? Pourrait-on même avoir une fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow E$ continue (donc mesurable) qui ne soit pas limite de fonctions simples.
J'ai lu qu'une fonction mesurable $ f : X \rightarrow E$ de $X$ un espace mesuré dans $E$ un $\mathbb{R}$-Banach n'est pas nécessairement limite d'une suite de fonctions simples, comme c'est le cas lorsque $E = \mathbb{R}$.
L'auteur ne précise pas j'en déduis qu'il munit $E$ de sa tribu borélienne pour la topologie forte.
Connaissez-vous des exemples ? Pourrait-on même avoir une fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow E$ continue (donc mesurable) qui ne soit pas limite de fonctions simples.
Réponses
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@Gentil en fait dans le cas plus général où $E$ est un Banach il faut considérer la notion de fonction fortement mesurable. J'ai fait une petite recherche sans trouver grand chose mais dans un de mes bouquins on en parle.
La définition est la suivante : Une fonction $f : X \rightarrow E$ est dite "fortement mesurable" si elle est limite simple d'une suite de fonctions étagées mesurables.
Le résultat important est le suivant :
Une application $f : X \rightarrow E$ est fortement mesurable ssi les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1) $f(X)$ est séparable.
2) Pour toute boule ouverte $B$ de $E$, $f^{-1}(B)$ est mesurable.
On remarque que dans le cas où $E$ est séparable les deux notions coïncident (fonction mesurables et fortement mesurables).
Pour trouver l'exemple que tu cherches il te suffit de choisir une fonction $f$ mesurable telle que $f(X)$ n'est pas séparable.
Un exemple à l'arrache si $X=[0,1]$ muni de la tribu des parties et si $E$ est l'espace des fonctions bornées sur $[0,1]$ avec la norme uniforme (cet espace n'est pas séparable) et si $f:[0,1]\rightarrow E$ est définie par $\forall x\in [0,1], f(x):=\chi_{x}$ où $\chi$ est la fonction caractéristique du singleton $\{x\}$, alors $f$ est mesurable mais n'est pas limite simple de fonctions étagées. -
Bonjour Raoul.S
Oui je comprends mieux le problème. Par exemple l'identité $\text{id} : E \rightarrow E$ est mesurable et même continue. Supposons qu'il existe une suite de fonctions simples qui converge vers $\text{id}$ alors $$
E = \overline{ \text{vect}\big(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \text{Im}(f_{n}) \big) }.
$$ Qui est séparable car $\text{Im}(f_{n})$ est dénombrable. Ce qui donne un contre-exemple en prenant $E = C^{0}([0,1],\mathbb{R})$.
Quant à la démonstration de ce théorème est-elle difficile ? -
Effectivement ton exemple avec l'identité donne lieu à plein de "contre-exemples", par contre pas celui que tu cites avec $E = C^{0}([0,1],\mathbb{R})$ car $C^{0}([0,1],\mathbb{R})$ est séparable.Quant à la démonstration de ce théorème est-elle difficile ?
Un peu quand même (pour moi en tout cas). Dans mon bouquin cette proposition était sous forme d'exo et j'avais dû pas mal réfléchir à l'époque pour la montrer.
Tu peux essayer de la montrer directement ou élargir un peu plus ton horizon avec ce document que j'ai trouvé. Si t'arrives à te coltiner les 5 premières pages alors tu auras la démo cherchée à la proposition 1.8 de la page 5... -
Ah oui ben on remplace $[0,1]$ par $\mathbb{R}$.
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Si tu remplaces $[0,1]$ par $\mathbb{R}$ tu ne peux plus utiliser la norme uniforme.
Tu peux prendre $E=B([0,1],\mathbb{R})$ l'espace des fonctions bornées muni de la norme uniforme, celui-ci n'est pas séparable.
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Bonjour!
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