Fonction mesurable Banach
Bonjour
J'ai lu qu'une fonction mesurable $ f : X \rightarrow E$ de $X$ un espace mesuré dans $E$ un $\mathbb{R}$-Banach n'est pas nécessairement limite d'une suite de fonctions simples, comme c'est le cas lorsque $E = \mathbb{R}$.
L'auteur ne précise pas j'en déduis qu'il munit $E$ de sa tribu borélienne pour la topologie forte.
Connaissez-vous des exemples ? Pourrait-on même avoir une fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow E$ continue (donc mesurable) qui ne soit pas limite de fonctions simples.
J'ai lu qu'une fonction mesurable $ f : X \rightarrow E$ de $X$ un espace mesuré dans $E$ un $\mathbb{R}$-Banach n'est pas nécessairement limite d'une suite de fonctions simples, comme c'est le cas lorsque $E = \mathbb{R}$.
L'auteur ne précise pas j'en déduis qu'il munit $E$ de sa tribu borélienne pour la topologie forte.
Connaissez-vous des exemples ? Pourrait-on même avoir une fonction $f : \mathbb{R} \rightarrow E$ continue (donc mesurable) qui ne soit pas limite de fonctions simples.
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Réponses
La définition est la suivante : Une fonction $f : X \rightarrow E$ est dite "fortement mesurable" si elle est limite simple d'une suite de fonctions étagées mesurables.
Le résultat important est le suivant :
Une application $f : X \rightarrow E$ est fortement mesurable ssi les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1) $f(X)$ est séparable.
2) Pour toute boule ouverte $B$ de $E$, $f^{-1}(B)$ est mesurable.
On remarque que dans le cas où $E$ est séparable les deux notions coïncident (fonction mesurables et fortement mesurables).
Pour trouver l'exemple que tu cherches il te suffit de choisir une fonction $f$ mesurable telle que $f(X)$ n'est pas séparable.
Un exemple à l'arrache si $X=[0,1]$ muni de la tribu des parties et si $E$ est l'espace des fonctions bornées sur $[0,1]$ avec la norme uniforme (cet espace n'est pas séparable) et si $f:[0,1]\rightarrow E$ est définie par $\forall x\in [0,1], f(x):=\chi_{x}$ où $\chi$ est la fonction caractéristique du singleton $\{x\}$, alors $f$ est mesurable mais n'est pas limite simple de fonctions étagées.
Oui je comprends mieux le problème. Par exemple l'identité $\text{id} : E \rightarrow E$ est mesurable et même continue. Supposons qu'il existe une suite de fonctions simples qui converge vers $\text{id}$ alors $$
E = \overline{ \text{vect}\big(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} \text{Im}(f_{n}) \big) }.
$$ Qui est séparable car $\text{Im}(f_{n})$ est dénombrable. Ce qui donne un contre-exemple en prenant $E = C^{0}([0,1],\mathbb{R})$.
Quant à la démonstration de ce théorème est-elle difficile ?
Un peu quand même (pour moi en tout cas). Dans mon bouquin cette proposition était sous forme d'exo et j'avais dû pas mal réfléchir à l'époque pour la montrer.
Tu peux essayer de la montrer directement ou élargir un peu plus ton horizon avec ce document que j'ai trouvé. Si t'arrives à te coltiner les 5 premières pages alors tu auras la démo cherchée à la proposition 1.8 de la page 5...
Tu peux prendre $E=B([0,1],\mathbb{R})$ l'espace des fonctions bornées muni de la norme uniforme, celui-ci n'est pas séparable.