Calcul d'une intégrale

Est-ce que $H$ et $G$ sont aussi définies positives ? N'aurais-tu pas oublié aussi une exponentielle du genre $e^{-trace X}$ ?
Car ton intégrale est divergente apparemment, comme on le voit si les matrices sont de dimension un.

Elle diverge parce que de la forme $\int_{S_+}f(X)dX$ ou $f(\lambda X)=\lambda^{n\alpha}f(X)$ pour tout $\lambda>0$ et $f$ est positive.On equipe $S$ de la structure euclidienne $\langle X,Y\rangle =\mathrm{trace}(XY)$ et $K$ est la sphere unite de $S$ . On definit alors $dk$ comme la probabilite uniforme sur $K$ (c'est a dire l'unique probabilite invariante par les rotations de l'espace euclidien $S$). Alors
$$ dX=(n(n+1)/2)\lambda^{n(n+1)/2)-1}d\lambda dk$$

$$\int_{S_+}f(X)dX=\int_{K\cap S^{+}}f(k)dk\times \int_0^{\infty}\lambda^{n\alpha+n(n+1)/2-1}d\lambda=\infty$$