Proba conditionnelle P(X=x | Y=y)

unélèvelambda · January 2020

Bonjour à tous
J'espère qu'une bonne âme charitable saura m'aider pour ce problème.

Dans ma résolution, je vois que pour la partie 1. P(X=i) est une loi binomial B(n,p).
Par contre pour le 2. je ne comprends pas vraiment comment il faut faire.
Je suppose que pour P(Y=k | X=i ) il s'agit d'une loi binomiale de paramètre B(n-i,p), où on a k-i parmi n-i et p^k (1-p)^n-k

et si jusqu'à présent, je ne me suis pas trompé, he bien ... je suppose que pour trouver P(Z=X+Y) on pose : P(Z=X+Y) = somme de i allant de 0 à n avec P(Y=k | X=i ) fois P(X=i) mais je bloque...
Si quelqu'un pouvait m'aider ça fait 2 jours que j'essaie de trouver.
Merci beaucoup d'avance. 95712

Said Fubini · January 2020

$Y\vert _{X=i}$ suit $B(n-i,p)$ donc $P(Y=k\vert _{X=i})=(_k^{n-i})p^k(1-p)^{n-i-k}$ pour $ 0 \leq k \leq n-i$

indication : $(Z=k) =\bigcup_{i=0...k} (X=i ,Y=k-i)$ et ces événements sont disjoints 2 à 2

unélèvelambda · January 2020

HAAAAAAAAA !!!!!

Je pensais que vu qu'on avait P(Y=k|X=i) ça impliquait que X et Y n'était pas indépendante mais vu que c'est le cas. On peut utiliser le produit de convolution et trouvé que P(Z=X+Y) est une loi binomial.

Merci énormément, je saurais pour la prochaine fois.

Said Fubini · January 2020

Bonjour,
Attention à la rédaction car $P(Z=X+Y)$ n'a pas de sens! si tu veux donner la loi de $Z$ car$P(Z=X+Y)=1$

il faut calculer $P(Z=k)$ pour $k \in Z(\Omega)$

P. · January 2020

Si $q=1-p$ alors $\mathbb{E}(z^Y|X)=(q+pz)^{n-X}$ et donc $Z\sim B(n, 1-q^2)$ car
$$\mathbb{E}(z^Z)=\mathbb{E}(z^{X+Y})=\mathbb{E}(\mathbb{E}(z^{X+Y}|X))=\mathbb{E}(z^X\mathbb{E}(z^Y|X))=\mathbb{E}(z^X(q+pz)^{n-X})$$$$=(q+pz)^n\mathbb{E}(z^X(q+pz)^{-X})=(q+pz)^n\left(q+\frac{pz}{q+pz}\right)^n=(q^2+(1-q^2)z)^n$$ Logique tout ca : l'ensemble de taille $n-Z$ est forme des clients auxquels on a donne au moins une chance de repondre, et un tel client n'a pas repondu avec une probabilite $q\times q.$ Pas etonnant que $n-Z\sim B(q^2,n).$

Proba conditionnelle P(X=x | Y=y)

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