Existence de l'espérance conditionnelle

Dans le cas $X\in L^2$ c'est facile, tu définis l'espérance conditionnelle $E(X|\mathcal{G})$ comme étant le projeté orthogonal de $X$ sur l'ensemble (fermé) des v.a $\mathcal{G}$-mesurables de carré intégrable. Tu vérifies ensuite que la v.a ainsi construite vérifie bien la propriété $(\ast) : E(X1_A) = E(E(X|\mathcal{G})1_A)$ pour tout ensemble $A\in\mathcal{G}$.

Pour généraliser à $X\in L^1$ :
1) l'unicité est claire car si $Y$ et $Y'$ sont deux candidates, poser $A = \{Y-Y'\geqslant\varepsilon\} \in \mathcal{G}$. Alors
$$0 = E(X1_A)-E(X1_A) = E((Y-Y')1_A))\geqslant\varepsilon P(A)$$
Vu que $\varepsilon$ est pris strictement positif, on a $P(A) = 0$ et donc par arbitrarité de $\varepsilon$, aussi $Y\leqslant Y'$ $P$-presque-sûrement. Par symétrie, on a l'égalité presque-sûre $Y=Y'$.

2) Pour l'existence, supposons sans perte de génralité que $X$ est positive (quitte à prendre la partie positive/négative).
C'est la limite croissante des fonctions $L^2$ : $X\wedge n$. Par TCM tu trouves un candidat (la limite des $E(X\wedge n | \mathcal{G})$), et tu montres qu'il est $\mathcal{G}$-mesurable et qu'il vérifie la propriété $(\ast)$