Marche aléatoire

Effectivement, tu utilises des informations fausses. La position au bout de n pas est aléatoire (normal, non) et pas du tout mesurée par $\sqrt n$. La distance la plus probable sur une grille infinie est d'ailleurs 0(*).
Voir Wikipédia.

Cordialement.

(*) peut-être pas sur une grille finie, si n est bien plus grand que le nombre de places.

Écoute, c'est franchement compliqué. Pour comprendre l'idée de base, considère un instant des variables aléatoires indépendantes $X_n$ telles que $\Pr(X_n=\pm 1)=1/2$ et $A_n=X_1+\cdots+X_n$ (la suite des $A_n$ s'appelle une marche aléatoire simple sur $\mathbb{Z}$). Alors $$\Pr(A_{2n}=0)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!^2}\sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$$ deux affirmations que tu peux montrer tout seul. Le point compliqué à expliquer est le fait que $A_n$ revienne une infinité de fois sur chaque entier est dû à ce que $$
\sum_{n=0}^{\infty}\Pr(A_n=0)=\infty.$$ Passons à deux dimensions en ajoutant de façon indépendante des $Y_n$ et des $B_n$ avec de même $\Pr(Y_n=\pm 1)=1/2$ et $B_n=X_1+\cdots+X_n$. Tu considères la marche aléatoire $(A_n,B_n)$ sur $r$ $$G=\{(x,y)\in \mathbb{Z}^2; x+y \in 2 \mathbb{Z}\}.$$ Alors $G$ est isomorphe à $\mathbb{Z}^2$ comme tu t'en convaincras par un dessin. Alors que $(A_n,B_n)$ revienne une infinité de fois sur chaque entier est dû à ce que $$\sum_{n=0}^{\infty}\Pr((A_n, B_n)=(0,0))=\infty$$ puisque $$ \Pr((A_{2n}, B_{2n})=(0,0))=\Pr(A_{2n}=0)\Pr(B_{2n}=0)\sim \frac{1}{\pi n}.$$

Non, pas plus facile, car on sait aussi démontrer que c'est équivalent. Il te faut t'emparer d'un cours sur les chaînes de Markov à temps discret et à espace d’états fini ou dénombrable : Feller 1949 ou Chung 1950, mais il doit y avoir ce qu'il faut en français sur le web. Tu dois apprendre les différences entre