Pile ou face infini

Au pif je dirais qu'il faut utiliser l'axiome du choix pour construire un élément qui ne soit pas dans la tribu.

Je tente une reprise de l'ensemble de Vitali dans ce contexte. https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Vitali

D'abord, je note $\Omega = \{-1,1\}^\N$, de sorte à avoir un groupe. Les translations préservent la mesure.

Je note $F = \Omega/\sim$, ($F$ pour "finales") où $\omega\sim\omega'$ lorsque $\omega=\omega'$ sauf un nombre fini de fois. (suites égales à partir d'un certain rang)

Le noyau de $p:\Omega \to F$ est dénombrable : c'est la réunion $\{-1,1\}^{(\N)}$ des $\{-1,1\}^n$.

Soit, par l'axiome du choix une section $s:F \to \Omega$ de $p$.

Alors $S = s(F)$ ne peut pas être mesurable, car $\Omega = \biguplus\limits_{\omega\in\{-1,1\}^{(\N)}} (\omega + S)$. (réunion disjointe)

(De deux choses l'une : $S$ serait de mesure nulle et alors la réunion aussi, soit $S$ serait de mesure $>0$, et alors $\Omega$ serait de mesure $\infty$ !)

En fait, c'est plus intuitif dans ce contexte qu'avec le segment $[0,1]$, je trouve !

Ben celle du pile ou face : la tribu cylindrique. (pardon, mal lu la question !)

La mesure que je considère, c'est la probabilité du pile ou face équilibrée. (d'ailleurs, je me demande si c'est pas un genre de mesure de Haar, puisque elle est invariante par les translations !)

La probabilité d'une suite de pile ou face de longeur $n$ finie quelconque est toujours $1/2^n$.