Pile ou face infini
Bonjour à tous
Je considère une expérience de pile ou face infini, modélisée par un univers $\Omega=\{0,1\}^{\N^*}$ muni de la tribu engendrée par les évènements $P_n$:"obtenir Pile au $n$-ème lancer".
Je cherche un exemple d'élément de $\mathcal{P}(\Omega)$ qui ne serait pas dans ma tribu ; en existe-t-il un facile à expliciter ?
Merci d'avance pour votre aide,
Florent
Je considère une expérience de pile ou face infini, modélisée par un univers $\Omega=\{0,1\}^{\N^*}$ muni de la tribu engendrée par les évènements $P_n$:"obtenir Pile au $n$-ème lancer".
Je cherche un exemple d'élément de $\mathcal{P}(\Omega)$ qui ne serait pas dans ma tribu ; en existe-t-il un facile à expliciter ?
Merci d'avance pour votre aide,
Florent
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
D'abord, je note $\Omega = \{-1,1\}^\N$, de sorte à avoir un groupe. Les translations préservent la mesure.
Je note $F = \Omega/\sim$, ($F$ pour "finales") où $\omega\sim\omega'$ lorsque $\omega=\omega'$ sauf un nombre fini de fois. (suites égales à partir d'un certain rang)
Le noyau de $p:\Omega \to F$ est dénombrable : c'est la réunion $\{-1,1\}^{(\N)}$ des $\{-1,1\}^n$.
Soit, par l'axiome du choix une section $s:F \to \Omega$ de $p$.
Alors $S = s(F)$ ne peut pas être mesurable, car $\Omega = \biguplus\limits_{\omega\in\{-1,1\}^{(\N)}} (\omega + S)$. (réunion disjointe)
(De deux choses l'une : $S$ serait de mesure nulle et alors la réunion aussi, soit $S$ serait de mesure $>0$, et alors $\Omega$ serait de mesure $\infty$ !)
En fait, c'est plus intuitif dans ce contexte qu'avec le segment $[0,1]$, je trouve !
Edit: mesure sur la tribu et non sur $\Omega$ of course...
La mesure que je considère, c'est la probabilité du pile ou face équilibrée. (d'ailleurs, je me demande si c'est pas un genre de mesure de Haar, puisque elle est invariante par les translations !)
La probabilité d'une suite de pile ou face de longeur $n$ finie quelconque est toujours $1/2^n$.