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Pile ou face infini

Envoyé par Florent H. 
Pile ou face infini
il y a deux mois
Bonjour à tous
Je considère une expérience de pile ou face infini, modélisée par un univers $\Omega=\{0,1\}^{\N^*}$ muni de la tribu engendrée par les évènements $P_n$:"obtenir Pile au $n$-ème lancer".
Je cherche un exemple d'élément de $\mathcal{P}(\Omega)$ qui ne serait pas dans ma tribu ; en existe-t-il un facile à expliciter ?
Merci d'avance pour votre aide,
Florent



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Pile ou Face infini
il y a deux mois
Au pif je dirais qu'il faut utiliser l'axiome du choix pour construire un élément qui ne soit pas dans la tribu.
Re: Pile ou face infini
le mois dernier
Ça m'a l'air aussi difficile que d'expliciter une partie non borélienne de $[0, 1]$ via l'écriture en base $2$ $$(u_n)_n \in \{0, 1\}^{\mathbb N^*} \mapsto \sum_{n \geq 1} \frac{u_n}{2^n} \in [0, 1].$$ En effet, on peut voir $\mathcal P_1$ comme $[0, 1/2[$, $\mathcal P_2$ comme $[0, 1/4[ \cup [1/2, 3/4[$, etc. et la tribu engendrée contient tous les intervalles dyadiques, donc tous les intervalles ouverts, et donc tous les boréliens. Bon, il faut quand même faire attention au fait que l'écriture en base $2$ n'est pas unique dans cette histoire.
Re: Pile ou face infini
le mois dernier
Je tente une reprise de l'ensemble de Vitali dans ce contexte. [fr.wikipedia.org]

D'abord, je note $\Omega = \{-1,1\}^\N$, de sorte à avoir un groupe. Les translations préservent la mesure.

Je note $F = \Omega/\sim$, ($F$ pour "finales") où $\omega\sim\omega'$ lorsque $\omega=\omega'$ sauf un nombre fini de fois. (suites égales à partir d'un certain rang)

Le noyau de $p:\Omega \to F$ est dénombrable : c'est la réunion $\{-1,1\}^{(\N)}$ des $\{-1,1\}^n$.

Soit, par l'axiome du choix une section $s:F \to \Omega$ de $p$.

Alors $S = s(F)$ ne peut pas être mesurable, car $\Omega = \biguplus\limits_{\omega\in\{-1,1\}^{(\N)}} (\omega + S)$. (réunion disjointe)

(De deux choses l'une : $S$ serait de mesure nulle et alors la réunion aussi, soit $S$ serait de mesure $>0$, et alors $\Omega$ serait de mesure $\infty$ !)

En fait, c'est plus intuitif dans ce contexte qu'avec le segment $[0,1]$, je trouve !
Re: Pile ou face infini
le mois dernier
@marsup c'est quoi la mesure que tu considères sur $\Omega = \{-1,1\}^\N$ ?

Edit: mesure sur la tribu et non sur $\Omega$ of course...



Edité 2 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par raoul.S.
Re: Pile ou face infini
le mois dernier
Ben celle du pile ou face : la tribu cylindrique. (pardon, mal lu la question !)

La mesure que je considère, c'est la probabilité du pile ou face équilibrée. (d'ailleurs, je me demande si c'est pas un genre de mesure de Haar, puisque elle est invariante par les translations !)

La probabilité d'une suite de pile ou face de longeur $n$ finie quelconque est toujours $1/2^n$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par marsup.
Re: Pile ou face infini
le mois dernier
Ah oui évidemment... je n'y avais pas pensé. Merci.
Re: Pile ou face infini
il y a six semaines
Merci à tous (avec du retard...) pour vos réponses. Je n'ai pas encore tout saisi, mais la réponse à ma question semble désormais claire : non, il n'existe pas d’événement non mesurable facile à expliciter ^^
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