Suite des intégrales de fonctions étagées
Bonjour
Sur un espace mesurable soit une suite des fonctions étagées qui décroit simplement vers la fonction nulle.
Comment démontrer que la suite des intégrales décroit vers zéro sans utiliser la convergence monotone.
Merci
Sur un espace mesurable soit une suite des fonctions étagées qui décroit simplement vers la fonction nulle.
Comment démontrer que la suite des intégrales décroit vers zéro sans utiliser la convergence monotone.
Merci
Réponses
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C'est faux si on ne suppose pas qu'au moins l'une d'elle est intégrable. Contre-exemple : $f_n : x \mapsto \frac{1}{n}$ sur $\mathbb R$.
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Et ce que dit Poirot est valable même si la convergence uniforme.
Pour $n$ assez grand, tu auras bien $|f_n(x)|<\varepsilon$ pour tout $x$, mais à moins que la mesure contre laquelle tu intègres soit finie, tu vas juste obtenir $\int|f_n|d\mu\leqslant\infty$, ce qui ne sert à rien du tout... -
Merci
On admet que les fonctions sont toutes intégrables
Comment démontre le résultat désiré ? -
Le truc c'est que c'est essentiellement la même chose que de démontrer le théorème de convergence monotone.
Si $(f_n)_n$ est une suite croissante de fonctions mesurables positives convergeant simplement vers $f$ intégrable, alors il n'y a plus qu'à appliquer "ton résultat" à la suite $(f-f_n)_{n \in \mathbb N}$.
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Bonjour!
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