Il faut considérer tous les cas où on atteint 15 "pas en avant" (pour la proba de gain).
Ces cas s'énumèrent ainsi:
* en 15 temps: 15 pas en avant, 0 en arrière
* SINON en 16 temps: pas possible
* SINON en 17 temps: 16 pas en avant, 1 en arrière
* SINON en 18 temps: pas possible
* SINON en 19 temps: 17 pas en avant, 2 pas en arrière
etc...
Chaque ligne correspond à une expression binomiale...
Cet argument, qui confirme le résultat de Marsup te conviendra peut-être.
Notons $p =0,55, \:\: q= 1-p, \:\:N=15.$
$\forall n \in [\![ -N;N]\!],\quad p_n$ désigne la probabilité que l' action, à partir de la valeur $25+n$, atteigne la valeur la valeur $40$ avant la valeur $10$.
La probabilité cherchée est donc $p_0$ et l'on sait que: $p_{-N} =0, \:\: p_{N} =1.$
D'autre part, en analysant le premier pas à partir de la valeur $25+n$, on a: $:\forall n \in [\![-N+1; N-1]\!], \quad p_n =p\times p_{n+1} +q\times p_{n-1}.$
La suite $(p_n)$ obéit donc à une récurrence linéaire d'ordre $2$, dont le polynôme caratéristique a pour racines $1$ et $\dfrac qp.$
Avec les valeurs imposées en $-N$ et en $N$, on obtient $p_n = \dfrac {(\frac pq)^N- (\frac qp)^n}{(\frac pq)^N -(\frac qp)^N}.\:\:$ puis $\:\: \boxed {p_0 = \dfrac {p^N}{p^N+q^N}.}$ @Patrick 123 Ce que tu proposes ne marche pas, car les événements que tu envisages ne sont pas disjoints.
Pour la deuxième ligne, c'est le complément, donc $(1 - p_1)$, qu'il faut multiplier avec la probabilité 16+ / 1-, donc $C_{17}^1 (0.55)^{16} (0.45)^1$
Donc $p_2 = (1 - p_1) C_{17}^1 (0.55)^{16} (0.45)^1$
Pour la troisième ligne, c'est encore le complément, donc $(1 - p_1)(1 - p_2)$ qu'il faut multiplier avec la probabilité 17+/2-, donc $C_{19}^2 (0.55)^{17}(0.45)^2$
donc $p_3 = (1 - p_1)(1 - p_2) C_{19}^2 (0.55)^{17}(0.45)^2$.
Le résultat demandé est alors $p_1 + p_2 + p_3 + ...$
Est-ce faux ?
J'avoue que ce que tu présentes est juste et beau, mais il faut y penser !
Au cas où quelqu'un se demande, j'ai simplement appliqué le théorème d'arrêt de Doob à la martingale $a^{X_n}$, avec $a = \frac{9}{11}$.
On a $E[a^{X_T}] = a^{X_0}$,
soit $P \times a^{40} + (1-P) \times a^{10} = a^{25}$, avec $P$ la probabilité de sortir par le haut, et je résous pour $P$.
Ton "résultat" est erroné.
Je mets des guillemets car il n'est pas clairement exprimé, dans la mesure où tu n'indiques pas où s'arrêtent les points de suspension.
Peut-être est-ce $P =\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty}p_n$ où $p_n = \displaystyle \left(\prod_{k=1}^{n-1} (1-p_k) \right)\binom {13+2n}{n-1} p^{15+n-1}q^{n-1}$ , ce qui est faux de toutes façons.
Par exemple, ton $p_2$ (probabilité que le cours de l'action atteigne $40$ pour la première fois à la $17$ième étape) est $ p_2 =\binom {17} 1 p^{16}q - 2p^{16}q = 15 p^{16}q $ et non $p_2= (1-p^{15}) \times 17p^{16}q.$
epsilon0 écrivait:
"Je cherche un exemple de fonction qui n'est pas une variable aléatoire."
A priori, n'importe quelle fonction convient. Il faudrait avoir de la malchance pour qu'en prenant aléatoirement une fonction ce soit une variable aléatoire. ;-)
Pour une martingale, il faut avoir $E[M_{n+1}|M_n] = M_n$.
Quand $X_{n} = \sum_{k=1}^n \epsilon_k$, c'est une bonne idée de regarder $M_n = a^{X_n}$, parce que l'équation : $E[a^{X_{n+1}}|a^ {X_n}] = a^{X_{n}}$ donne simplement : $E[a^{\epsilon_{n+1}}|X_n] = 1$.
Ici, il y a indépendance, donc il suffit de résoudre : $1 = E[a^{\epsilon_{n+1}}] = pa + \frac{q}{a}$. (même trinôme que Lou16)
(c'est une application élémentaire très classique du théorème d'arrêt : en gros, c'est la ruine du joueur)
Il suffit de lire la définition d'une variable aléatoire pour voir que ta question n'a pas de sens. A priori, une variable aléatoire n'est en rien une simple fonction. Il y a un contexte. Et même si tu as un espace probabilisé (A, O, P) et un espace mesurable (B, Q), une application de A dans B n'est une variable aléatoire que sous certaines conditions.
Ce qui est pédagogique, c'est de lire la définition pour savoir de quoi on parle ... par exemple, il ne suffit pas de $\mathbb R$ et d'une tribu. Il faut un espace probabilisé.
gerard0
Un ensemble E muni d'une tribu T est un espace probabilisable qui permet de définir une variable aléatoire X qui est une fonction de E vers IR tq pour tout intervalle I on a X-1 (I) est dans T, en général pour une fonction f de X(E) vers IR foX est une variable aléatoire , surtout dans le cas discret , c'est pour ça que ma question à un sens .
Alors pourquoi ne pas avoir posé clairement la question ? Car ta question initiale est totalement différente !! J'espère que tu ne crois pas qu'on sait ce que tu as dans la tête quand tu parles d'autre chose que ce que tu veux dire.
Et tu ferais bien de prendre le temps d'écrire clairement, de faire des phrases séparées par des points, sans nécessairement rappeler ce que tout un chacun sait.
Finalement, de ton dernier message, il ne reste que " en général pour une fonction f de X(E) vers IR foX est une variable aléatoire" qui précise que disant "une fonction" tu désignais (peut-être, comment savoir) un certain type de fonctions.
A noter : dans l'exemple que tu cites, ce n'est pas la fonction (f) qui est une variable aléatoire.
Bon, finalement, est-ce que tu peux expliciter clairement ta question : Dans quel cadre est-on ? Et de quel type de fonction parles-tu ?
Par exemple : On a un espace probabilisé (A, O, P) et un espace mesurable (B, Q), et f est une application de A dans B. f ne sera une variable aléatoire que si elle est mesurable. Pour avoir un exemple de fonction de A dans B qui n'est pas une variable aléatoire, il suffit de prendre f non mesurable.
Oui, j'ai vu, tu as raison. J'ai compris maintenant. Je voulais faire l'arborescence:
- touché en 15 pas
- pas touché en 15 pas mais touché en 17 pas
- pas touché en 15 ni en 17, mais en 19 pas
mais comme tu dis, l'expression des probabilités conditionnelles dans chaque cas était fausse.
Réponses
Je trouve : $P = \frac{1}{(9/11)^{15}+1}\simeq 95,3\%$.
Je cherche une solution avec des événements élémentaires et proba conditionnelle...
Ces cas s'énumèrent ainsi:
* en 15 temps: 15 pas en avant, 0 en arrière
* SINON en 16 temps: pas possible
* SINON en 17 temps: 16 pas en avant, 1 en arrière
* SINON en 18 temps: pas possible
* SINON en 19 temps: 17 pas en avant, 2 pas en arrière
etc...
Chaque ligne correspond à une expression binomiale...
Je cherche un exemple de fonction qui n'est pas une variable aléatoire.
Cet argument, qui confirme le résultat de Marsup te conviendra peut-être.
Notons $p =0,55, \:\: q= 1-p, \:\:N=15.$
$\forall n \in [\![ -N;N]\!],\quad p_n$ désigne la probabilité que l' action, à partir de la valeur $25+n$, atteigne la valeur la valeur $40$ avant la valeur $10$.
La probabilité cherchée est donc $p_0$ et l'on sait que: $p_{-N} =0, \:\: p_{N} =1.$
D'autre part, en analysant le premier pas à partir de la valeur $25+n$, on a: $:\forall n \in [\![-N+1; N-1]\!], \quad p_n =p\times p_{n+1} +q\times p_{n-1}.$
La suite $(p_n)$ obéit donc à une récurrence linéaire d'ordre $2$, dont le polynôme caratéristique a pour racines $1$ et $\dfrac qp.$
Avec les valeurs imposées en $-N$ et en $N$, on obtient $p_n = \dfrac {(\frac pq)^N- (\frac qp)^n}{(\frac pq)^N -(\frac qp)^N}.\:\:$ puis $\:\: \boxed {p_0 = \dfrac {p^N}{p^N+q^N}.}$
@Patrick 123 Ce que tu proposes ne marche pas, car les événements que tu envisages ne sont pas disjoints.
c'est pour cela que j'ai mis "sinon".
Ici donc, on a:
$p_1 = 0.55^{15}$ pour la première ligne
Pour la deuxième ligne, c'est le complément, donc $(1 - p_1)$, qu'il faut multiplier avec la probabilité 16+ / 1-, donc $C_{17}^1 (0.55)^{16} (0.45)^1$
Donc $p_2 = (1 - p_1) C_{17}^1 (0.55)^{16} (0.45)^1$
Pour la troisième ligne, c'est encore le complément, donc $(1 - p_1)(1 - p_2)$ qu'il faut multiplier avec la probabilité 17+/2-, donc $C_{19}^2 (0.55)^{17}(0.45)^2$
donc $p_3 = (1 - p_1)(1 - p_2) C_{19}^2 (0.55)^{17}(0.45)^2$.
Le résultat demandé est alors $p_1 + p_2 + p_3 + ...$
Est-ce faux ?
J'avoue que ce que tu présentes est juste et beau, mais il faut y penser !
On a $E[a^{X_T}] = a^{X_0}$,
soit $P \times a^{40} + (1-P) \times a^{10} = a^{25}$, avec $P$ la probabilité de sortir par le haut, et je résous pour $P$.
@Patrick
Ton "résultat" est erroné.
Je mets des guillemets car il n'est pas clairement exprimé, dans la mesure où tu n'indiques pas où s'arrêtent les points de suspension.
Peut-être est-ce $P =\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty}p_n$ où $p_n = \displaystyle \left(\prod_{k=1}^{n-1} (1-p_k) \right)\binom {13+2n}{n-1} p^{15+n-1}q^{n-1}$ , ce qui est faux de toutes façons.
Par exemple, ton $p_2$ (probabilité que le cours de l'action atteigne $40$ pour la première fois à la $17$ième étape) est $ p_2 =\binom {17} 1 p^{16}q - 2p^{16}q = 15 p^{16}q $ et non $p_2= (1-p^{15}) \times 17p^{16}q.$
"Je cherche un exemple de fonction qui n'est pas une variable aléatoire."
A priori, n'importe quelle fonction convient. Il faudrait avoir de la malchance pour qu'en prenant aléatoirement une fonction ce soit une variable aléatoire. ;-)
Pourquoi cette question ?
Cordialement.
marsup : qu'est-ce qui a motivé le choix de $\frac{9}{11}$ ?
Merci d'avance.
Quand $X_{n} = \sum_{k=1}^n \epsilon_k$, c'est une bonne idée de regarder $M_n = a^{X_n}$, parce que l'équation : $E[a^{X_{n+1}}|a^ {X_n}] = a^{X_{n}}$ donne simplement : $E[a^{\epsilon_{n+1}}|X_n] = 1$.
Ici, il y a indépendance, donc il suffit de résoudre : $1 = E[a^{\epsilon_{n+1}}] = pa + \frac{q}{a}$. (même trinôme que Lou16)
(c'est une application élémentaire très classique du théorème d'arrêt : en gros, c'est la ruine du joueur)
Bonne soirée.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
C'est juste pédagogique, on peut prendre sur IR la tribu engendrée par un ensemble A, alors f(x)=x n'est pas une variable aléatoire.
Ce qui est pédagogique, c'est de lire la définition pour savoir de quoi on parle ... par exemple, il ne suffit pas de $\mathbb R$ et d'une tribu. Il faut un espace probabilisé.
Cordialement.
Un ensemble E muni d'une tribu T est un espace probabilisable qui permet de définir une variable aléatoire X qui est une fonction de E vers IR tq pour tout intervalle I on a X-1 (I) est dans T, en général pour une fonction f de X(E) vers IR foX est une variable aléatoire , surtout dans le cas discret , c'est pour ça que ma question à un sens .
Et tu ferais bien de prendre le temps d'écrire clairement, de faire des phrases séparées par des points, sans nécessairement rappeler ce que tout un chacun sait.
Finalement, de ton dernier message, il ne reste que " en général pour une fonction f de X(E) vers IR foX est une variable aléatoire" qui précise que disant "une fonction" tu désignais (peut-être, comment savoir) un certain type de fonctions.
Cordialement.
Bon, finalement, est-ce que tu peux expliciter clairement ta question : Dans quel cadre est-on ? Et de quel type de fonction parles-tu ?
Par exemple : On a un espace probabilisé (A, O, P) et un espace mesurable (B, Q), et f est une application de A dans B. f ne sera une variable aléatoire que si elle est mesurable. Pour avoir un exemple de fonction de A dans B qui n'est pas une variable aléatoire, il suffit de prendre f non mesurable.
Cordialement.
Oui, j'ai vu, tu as raison. J'ai compris maintenant. Je voulais faire l'arborescence:
- touché en 15 pas
- pas touché en 15 pas mais touché en 17 pas
- pas touché en 15 ni en 17, mais en 19 pas
mais comme tu dis, l'expression des probabilités conditionnelles dans chaque cas était fausse.
Merci !