Tribu sur $\mathbf N$

topopot · February 2020

Soit $n\in\mathbf N$. On considère la tribu $\mathcal F_n=\sigma(\{k \}\mid 0\leq k\leq n)$ sur $\mathbf N$.
Soit $A\in\mathcal F_n$.

J'ai du mal à vérifier formellement que : $A$ est infini si et seulement s'il existe $X\subset\{0,\dots,n\}$ tel que $A=\mathbf N\setminus X$.

C'est le sens $(\implies)$ qui me pose problème, je ne sais pas comment traduire autrement l'information $A\in\mathcal F_n$.
Merci par avance pour votre aide.

Poirot · February 2020

En fait tu peux montrer que $A$ est infini si et seulement s'il existe $m > n$ tel que $m \in A$. En effet, tu peux montrer que $\mathcal F_n = \{B \subset \{0, \dots, n\}\} \cup \{B \cup \{n+1, \dots\} \mid B \subset \{0, \dots, n\}\}$ en montrant que c'est bien une tribu contenant les $\{k\}, 0 \leq k \leq n$, et que toute tribu les contenant les $\{k\}, 0 \leq k \leq n$, contient l'ensemble de parties en question.

gerard0 · February 2020

Bonjour Topopot.

Peux-tu éclaircir l'énoncé :
$\mathcal F_n=\sigma(\{\ \{k\}\mid 0\leq k\leq n\ \})$
ou bien
$\mathcal F_n=\sigma(\{k \mid 0\leq k\leq n\})$
ou encore autre chose ...

Cordialement.

P. · February 2020

Heu gerard0, ce sont les memes tribus. Un element de $\mathcal{F}_n$ est forcement de la forme $X\cup \{n+1,n+2,\ldots\}$ ou de la forme $X$ avec $X\subset \{0,\ldots,n\}.$

Dom · February 2020

[small]Pardon, qu’est-ce $\sigma$ ici ?[/small]

Poirot · February 2020

@Dom : dans un ensemble $X$, si $S$ est un partie de $\mathcal P(X)$, $\sigma(S)$ est la plus petite tribu sur $X$ contenant $S$, la "tribu engendrée par $S$".

gerard0 · February 2020

Ah non, P, ce ne sont pas les mêmes tribus. Dans le deuxième cas, il n'y a que 4 éléments (le vide, $\mathbb N,\ \{k \mid 0\leq k\leq n\}$ et son complémentaire ).
Comme il y a deux accolades fermantes pour une ouvrante, il y a doute sur l'énoncé.
Rappel : n est fixé.

Cordialement.

Calli · February 2020

Bonjour,
C'est plutôt "dans un ensemble $X$, si $S$ est une partie de $\mathcal P(X)$, $\sigma(S)$ est la plus petite tribu sur $X$ contenant $S$", il me semble.

Poirot · February 2020

Oui bien sûr, j'ai corrigé.

Calli · February 2020

Et que devient "$S$ est une partie de $\mathcal P(X)$" ?

topopot · February 2020

Merci.

J'ai supprimé la seconde accolade fermante qui n'avait pas lieu d'être.

Poirot · February 2020

Argh, ça m'apprendra à lire en diagonale :-o

Dom · February 2020

Merci Poirot ! ;-)

topopot · February 2020

J'ai toutefois du mal à saisir la preuve de Poirot :-(
Quelqu'un aurait une démonstration plus simple ?

raoul.S · February 2020

@topopot difficile de faire plus simple que ce que dit Poirot. Il faut essayer de comprendre.

La tribu $\mathcal F_n$ est engendrée par les singletons contenus dans $\{0,\dots,n\}$. Donc $\mathcal F_n$ contient naturellement les unions dénombrables de ces singletons ainsi que leurs complémentaires. Donc la famille décrite par Poirot en somme : $$\{B \subset \{0, \dots, n\}\} \cup \{B \cup \{n+1, \dots\} \mid B \subset \{0, \dots, n\}\},

$$ et tu peux vérifier que $\mathcal F_n$ ne contient pas d'autres types d'ensemble en montrant que la famille ci-dessus est bien une tribu, ce qui en fait la plus petite contenant les singletons de $\{0,\dots,n\}$.
Tu vois donc qu'un élément de $\mathcal F_n$ est infini ssi il est du type $\{B \cup \{n+1, \dots\} \mid B \subset \{0, \dots, n\}\}$.

topopot · February 2020

Effectivement, au temps pour moi, merci pour votre aide, c'est bon maintenant !

Pour information, et même si vous l'avez sûrement deviné, la famille $(\mathcal F_n)_{n\in\mathbf N}$ est un exemple de suite croissante de tribus dont la réunion $\mathcal F=\bigcup_{n\in\mathbf N}\mathcal F_n$ n'est pas une tribu.

Bref, ma question venait de là.

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