Support d'une variable aléatoire

topopot · February 2020

Soit une variable aléatoire $X$ définie sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$, à valeurs dans un espace topologique $E$. On appelle support de $X$ et on note $S(X)$ le plus petit fermé $F$ de $E$ tel que $\mathbb P(X\in F)=1$. On note $X(\Omega)$ l'image de $X$.

Est-ce qu'on a : $X(\Omega)$ dénombrable si et seulement si $S(X)$ dénombrable ?

Si besoin, quelles sont les hypothèses manquantes pour que cette équivalence soit vraie ?

Corto · February 2020

Si je prend $\delta_0$ comme probabilité sur $\R$ et $X : \R \to \R$ la fonction identité alors l'image de $X$ est $\R$ entier mais son support est le singleton $\{0\}$.

Pour la réciproque, il est possible de construire une fonction $X : \R \to \R$ mesurable telle que $X(\R)$ soit l'ensemble des dyadiques et que pour tout dyadique $d$ on ait $\mathbb P_X(d) >0$. Cela nous donne alors $S(X) = \R$.

raoul.S · February 2020

Autre contre-exemple :

si $E=\mathbb{R}$ avec topologie usuelle et si $\Omega = \mathbb{Q}$ est muni de la tribu discrète et d'une probabilité qui fait qu'aucun des singletons de $\Omega$ n'est de mesure nulle, la variable aléatoire $X$ qui est l'inclusion de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ a son support égal à $\mathbb{R}$.

topopot · February 2020

Effectivement, mon cours comporte donc une erreur, merci.

Support d'une variable aléatoire

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