Indépendance de 3 évènements

Effectivement c'est des petits calculs assez pénibles.
Moi j'ai procédé comme suit sans avoir cherché s'il y a une façon plus courte.

On a sans utiliser d'hypothèses : $P(A\cap (B \cup C)) = P((A\cap \cup (A\cap C)) = P(A\cap + P(A\cap C) - P(A\cap B \cap C)$ $\quad(1)$
Puis : $P(A\cap (B \cup C)) = P(A)P(B \cup C) = P(A)\left( P(B)+P(C)-P(B\cap C) \right)$ $\quad(2)$

$(1)=(2)$ : $$P(A\cap + P(A\cap C) - P(A\cap B \cap C) = P(A)\left( P(B)+P(C)-P(B\cap C) \right).

$$ Sachant que $P(A\cap B \cap C)=P(A)P(B\cap C)$ on en déduit : $$

P(A\cap + P(A\cap C) = P(A)\left( P(B)+P(C)\right),\quad (3)

$$ le membre de gauche ci-dessus est égal à : $\dfrac{P(A\cap B \cap C)}{P(C)} + \dfrac{P(A\cap B \cap C)}{P(B)}$
qui se simplifie en : $P(A\cap B \cap C)\dfrac{P(B)+P(C)}{ P(B)P(C)}$
En remplaçant dans $(3)$ et en simplifiant on a : $$P(A\cap B \cap C)=P(A)P(B)P(C).

$$ PS. L'intersection c'est \cap et l'union \cup

Oh la laaa je vais rougir X:-(