Fonction mesurable pour la tribu produit

Bonjour,
J'ai une objection @Fulgrim. Soit $(f_n)$ une suite croissante de fonctions étagées qui converge vers la fonction mesurable $f$. Soit, pour tout $n$, $(g_{n,k})_k$ une suite croissante de combinaisons linéaires d'indicatrices de pavés qui converge vers $f_n$ (tu as dit que ces suites existent). L'existence de $(g_{n,\varphi(n)})_n$ croissante vers $f$ n'est pas évidente. A priori, pour un $n$ donné, les $g_{n+1,k}$ peuvent ne jamais être au-dessus de $g_{n,\varphi(n)}$, ce qui pourrait empêcher de choisir $g_{n+1,\varphi(n+1)}$. Donc je me demande comment tu déduis l'existence d'une suite croissante de combinaisons linéaires d'indicatrices de pavés qui converge vers $f$.

D'accord. ^^

Les théorèmes de densité ne devraient pas être utiles car ils ne fournissent pas de suites croissantes d'approximations.

Fulgrim a écrit:

Or chaque $\mathbf{1}_{C_n}$ est lui-même limite croissante de fonctions de la forme $\sum b(i,j) \mathbf{1}_{A_i\times B_j}$, il faut revenir aux définitions de la tribu produit et jongler entre les écritures fonctionnelles et ensemblistes.

Je ne crois pas.

Si je prend $F=G=\mathbb{R}$ et $D:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x=y \}$, je vois mal comment la fonction $\mathbf{1}_{D}$ pourrait être limite croissante d'une suite de fonctions de la forme $\sum b(i,j) \mathbf{1}_{A_i\times B_j}$.

@mehdi si je ne me trompe pas tu as un contre-exemple.