Exponentielle du brownien

Bonjour à tous
J'aimerais calculer l'espérance de l'exponentielle du brownien (ou sa valeur absolue).

Soit $B_t$ le brownien en dim 1, et $\tau$ le temps d'atteinte de $a\neq0$, de densité $f_\tau$, et de fonction de répartition $F_\tau$.
$B_t^\tau$ désigne le brownien arrêté en $\tau$.
Je calcule
\begin{align*}
\mathbb{E}(e^{|B_t^\tau|}) & = \mathbb{E}(\mathbb{E}(e^{|B_t^\tau|}~|~\tau))\\
&= \int_{\mathbb{R}^+} \mathbb{E}(e^{|B_t^\tau|}~|~\tau=x)f_\tau(x)dx \\
&= \int_0^t \mathbb{E}(e^{|a|}~|~\tau=x)f_\tau(x)dx + \int_t^\infty \mathbb{E}(e^{|B_t|}~|~\tau=x)f_\tau(x)dx \\
&= e^{|a|}F_\tau(t) + \int_t^\infty \mathbb{E}(e^{|B_t|}~|~\tau=x)f_\tau(x)dx \\

\end{align*} Comment puis-je continuer ? Ou bien fais-je fausse route ?
Merci .