Théorie ergodique

Bonjour à tous et merci de vos réponses !
$\cdot$ Niveau terminologie on devrait donc plutôt parler de mesure $T$-ergodique plutôt que de mesure ergodique.
$\cdot$ D'après ces définitions si $X$ non vide, une mesure $T$-invariante sur $\mathcal{B}$ n'est pas $T$-ergodique ?
$\cdot$ @Poirot, dans ton premier post tu parles d'identifier $\mathcal{M}(X)$ avec $\overset{\sim}{\mathcal{M}}(X) = \{T \in \mathcal{L}(\mathcal{C}^0(X), \mathbb{R}) | T\textrm{ positive de masse }1\}$ si je comprends bien.
A-t-on $\mathcal{M}(X) \cong \overset{\sim}{\mathcal{M}}(X)$ ?
D'une part on peut expliciter l'application injective suivante $$
\begin{cases} \mathcal{M}(X) & \rightarrow & \overset{\sim}{\mathcal{M}}(X) \\ \mu & \mapsto & T:(f\mapsto\int_Xf(x)d\mu(x))\end{cases} .
$$ Et d'autre part on peut construire l'application $$
\begin{cases} \overset{\sim}{\mathcal{M}}(X) & \rightarrow & \mathcal{M}(X) \\ T & \mapsto & \mu_T,\end{cases}
$$ où $\mu_T$ est une mesure de probabilité qui représente $T$ donnée par le théorème de Riesz-Markov. Cependant pour que cette application soit bien définie il nous faut l'unicité de cette mesure. Si on la suppose intérieurement régulière, le théorème annonce son unicité (et dans notre contexte, c'est donc une mesure de Radon). De plus cette application est également injective.
Donc on aurait bien $\mathcal{M}(X) \cong \overset{\sim}{\mathcal{M}}(X)$, est-ce correct / imprécis ?

$\cdot$ Dans le théorème de Riesz-Markov un petit détail me gène, il ne nécessite pas la continuité mais se contente d'une forme linéaire positive sur $\mathcal{C}^0(X)$. Le théorème donne ensuite l'existence de $\mu$ de Borel (en particulier $\mu(X)$ finie) telle que $$
\forall f\in \mathcal{C}^0(X),\quad T(f) = \int_Xf(x)d\mu(x) .
$$ Ce qui donne pour tout $f\in \mathcal{C}^0(X)$ que $$
|T(f)| = \Big|\int_Xf(x)d\mu(x)\Big| \leq \mu(X)||f||_{\infty}
$$ et donc la continuité de $T$. La norme utilisée est la norme uniforme (j'ai donc supposé $X$ espace vectoriel normé).
Edit : Dans le théorème l'espace $\mathcal{C}^0(X)$ est plus précisément $\mathcal{C}^0(X, \mathbb{R})$ (à valeur réelle) donc la norme uniforme est bien définie pour $X$ espace métrique compact non normé si je ne me trompe pas.
Mais alors toute forme linéaire positive sur $\mathcal{C}^0(X)$ est continue ? Et en quoi la continuité est nécessaire (ou pas) dans le point précédent ?

Bonjour Corto et merci de ton aide !

En général on demande à ce qu'une mesure ergodique soit aussi invariante.

- Dans le premier point ce que je voulais dire c'est que si une mesure $\mu$ est $T$-invariante elle ne peut pas être $T$-ergodique sur $\mathcal{B}$. Avec $X=[0,1]$ par exemple, par $T$-invariance on a en particulier que pour $A=[0.25,0.75]\in\mathcal{B}$, $\mu(T^{-1}(A))=\mu(A)=0.5$. Mais par $T$-ergodicité on aurait $\mu(A)=0$ ou $\mu(X\setminus A)=0$ mais ce n'est pas le cas (j'ai considéré la mesure de Lebesgue).
Enfin d'après ce que tu dis, je comprends bien que mon raisonnement est faux, mais je ne vois pas où ?

Dans le cas où l'on est en présence de mesures de Radon le théorème de Riesz permet effectivement d'associer de façon bijective mesures et formes linéaires positives.

- D'accords, merci. Et est-ce que le raisonnement de mon post précédent pour le montrer était correct ?

- Donc finalement parlé de continuité est redondant en supposant déjà la forme linéaire et positive. Ok merci à toi. :-)

Bonjour Corto,

- Ok merci de cette précision.

Dans $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ un exercice classique est de montrer que si l'on pose $T_\alpha : x \mapsto x+\alpha$ alors $(\mathbb{R}/\mathbb{Z},T,\lambda)$ est un système dynamique mesuré [...] ergodique si et seulement si $\alpha$ est irrationnel.

- Je m'y lance sans trop détailler. La mesure de Lebesgue $\lambda$ est invariante par translation donc c'est système dynamique mesuré. Les éléments $A\subseteq\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ qui vérifient $\lambda(A)=0$ ou $\lambda((\mathbb{R}/\mathbb{Z})\setminus A)=0$ sont décris par $\{\varnothing, \mathbb{R}/\mathbb{Z}\}$. Et ce sont les seuls ensembles vérifiant $T_\alpha^{-1}(A)=A$ lorsque $\alpha$ irrationnel.
Ai-je l'idée ?

- Voila la forme du théorème sur laquelle je me suis appuyé :Théorème de Riesz-Markov :
On se donne $X$ espace topologique localement compact et séparé. On note $\mathcal{B}$ sa tribu borélienne et : $$\mathcal{C}_c(X)=\{f:X\rightarrow\mathbb{R}|f\textrm{ continue à support compact}\}$$
Pour tout forme linéaire positive $T$ sur $\mathcal{C}_c(X)$, il existe $\mu$ mesure de Borel sur $(X, \mathcal{B})$ qui représente $T$ au sens suivant : $$ \forall f \in \mathcal{C}_c(X), \quad T(f)=\int_Xf(x)d\mu(x)$$
Par ailleurs si on s'impose de plus $\mu$ mesure intérieurement régulière, alors cette mesure existe et est unique.En fait sur un espace localement compact séparé une mesure de Borel et intérieurement régulière est exactement une mesure de Radon. Le théorème donne donc en particulier une unique mesure de Radon.
Dans mon cas $X$ espace métrique compact (ce qui est suffisant) et je n'ai donc plus la peine de considérer des fonctions à support compact. Cependant la bijection que j'ai essayé d'établir se restreint aux mesures de probabilité sur la tribu borélienne $\mathcal{B}$ de $X$. J'ai $$\mathcal{M}(X)= \{ \textrm{mesure de probabilité sur }\mathcal{B} \}$$ en bijection avec $$\overset{\sim}{\mathcal{M}}(X) = \{T \in \mathcal{L}(\mathcal{C}^0(X, \mathbb{R}), \mathbb{R}) | T\textrm{ positive de masse }1\}$$

- Je me permets de poursuivre ce fil. J'ai pu montrer que $\mathcal{M}(X)$ était convexe (et j'ai pu lire qu'il était métrisable). Je me donne maintenant $T:X\rightarrow X$ $\mathcal{B}$-mesurable et je considère le sous ensemble $$\mathcal{M}^T(X) = \{ \mu \in \mathcal{M}(X) | \mu \textrm{ mesure T-invariante} \}$$J'ai également pu montrer sa convexité, cependant je n'arrive pas à montrer qu'il est fermé..
En fait quand on parle de fermé je suppose qu'il faut utiliser la topologie induite par la distance sur $\mathcal{M}(X)$ puisque celui-ci est métrisable ?Je joints en image la distance qui métrise $\mathcal{M}(X)$, avec $f,f_n\in\mathcal{C}^0(X, \mathbb{R})$.

Merci de votre aide.

Bonjour Corto,

Heu, pas du tout.

- En repensant aujourd'hui à mon post je me suis rendu compte que j'avais effectivement oublié plein de possibilités..8-)
Après quelques recherches sur les ensembles $\lambda$-négligeables je n'aurais cependant pas cru que des ensembles infinis non dénombrables (comme l'ensemble de Cantor) puissent être $\lambda$-négligeables.
Plus en détails, j'essaie de rédiger l'ergodicité du système. Je me place dans le système dynamique mesuré $(\mathbb{R}/ \mathbb{Z},\mathcal{B}, T_\alpha, \lambda)$ où j'ai pris $\mathcal{B}$ comme la tribu borélienne.
Soit $A\in\mathcal{B}$. Cet ensemble est constitué d'éléments de $\mathbb{R}/ \mathbb{Z}$, et pour chacun de ces éléments je choisi un représentant. Enfin je note $A_0$ la partie de $\mathbb{R}$ décrite par $\displaystyle{\bigcup_{x\textrm{ représentant}}\{x+\mathbb{Z}\}}$. J'obtiens$$T_\alpha^{-1}(A)=A \quad\Leftrightarrow\quad A_0 + \alpha \equiv A_0[1]\textrm{ sur }\mathbb{R}\quad\Leftrightarrow\quad \alpha \in\mathbb{Q}\textrm{ ou }A=\varnothing$$Pour $A=\varnothing$, on a bien $\mu(A)\in\{0, 1\}$. Mais pour $\alpha \in\mathbb{Q}$ on peut trouver $A=[0,0.5]$ par exemple (j'ai considéré $A$ comme les représentants dans $[0,1]$ de ses classes) tel que $\mu(A)\notin\{0, 1\}$. Donc $$T_\alpha^{-1}(A)=A \Rightarrow \mu(A)\in\{0, 1\} \quad\textrm{ssi}\quad \alpha \in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$$

Bonjour Corto,

Si j'ai eu un cours sur la construction de l'intégrale de Lebesgue mais toute la partie sur la théorie de la mesure est passée rapidement.. Je n'ai fait très peu d'exercices sur les mesures.
Et tout ce que j'ai raconté sur l'ensemble $\mathcal{M}(X)$, sur les mesures de Borel/Radon/intérieurement régulièrement, sur le théorème de Riesz-Markov ne sort pas de mon cours mais de recherches personnelles. Je n'avais également jamais entendu auparavant la notion de systèmes dynamique mesuré.

Tout cela s'inscrit dans le cadre d'un projet.

Bonjour aléa,

Ok merci je vais regarder.

Pour continuer sur l'exercice de Corto :
Dans la suite, je note barre pour désigner la classe d'équivalence.
Je suppose $\alpha$ irrationnel et $A+\bar{\alpha} = A$ avec $A$ non vide.
- Je me donne $x_0\in A$, par hypothèse j'ai donc $x_0+\bar{\alpha}$ qui est également dans $A$. Et par suite j'obtiens que $$A_{x_0}:=\{x_0+k\bar{\alpha}|k\in\mathbb{Z}\}\subseteq A$$
- Puis je continue. Soit j'ai obtenu $A$ entier et alors par dénombrabilité $\lambda(A)=0$. Soit l'inclusion est stricte et je peux considérer $x_1\in A\setminus A_{x_0}$. De même j'obtiens $$A_{x_1}:=\{x_1+k\bar{\alpha}|k\in\mathbb{Z}\}\subseteq A\quad\textrm{avec}\quad A_{x_0}\cap A_{x_1}=\varnothing$$
- Ainsi de suite je continue et deux cas se posent. J'obtiens que $A$ comme l'union disjointe $$A = \bigcup_{j\in J}A_{x_j}$$ avec $J$ dénombrable (et alors $\lambda(A)=0$) ou avec $J$ infini non dénombrable.
- C'est donc le cas $J$ infini non dénombrable qui m'intéresse. J'ai pu montrer que la suite $u = (n\alpha - \lfloor n\alpha \rfloor)_{n\geq 0}$ était équidistribuée dans $[0, 1]$ au sens $$\frac{1}{n} \#\{0\leq k<n | u_k\in [a,b]\}\underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}b-a\qquad a\leq b\in[0,1]$$
(J'écris le membre de droite comme une somme d'indicatrices. Je montre le résultat pour une fonction continue 1-périodique au lieu de l'indicatrice, avec le théorème de Fejèr et le théorème d'inversion de limites. Puis je reviens à l'indicatrice que j'approche par deux fonctions continues.)
Ainsi cette suite est dense dans $[0,1]$ et pour revenir au problème j'obtiens que les $A_{x_j}$ (en quantité infini non dénombrable) sont denses dans $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$.

Sur le dernier point je ne sais pas trop comment aboutir à quelque chose. J'aimerai conclure soit que $\lambda(A)=0$ (je ne crois pas que c'est possible si je prends l'analogie avec $\mathbb{R} = \bigcup_{\textrm{a irrationnel}}\{a+\mathbb{Q}\}$) ou que $\alpha$ ne peut pas être irrationnel.
Ou alors peut-être bien que mon raisonnement ne mène nul part ?

Corto, pas de soucis :-) Chacune de tes remarques m'est constructive et je te remercie du temps que tu as passé.

Merci pour l'indication, je vais y réfléchir.