Tirage dans une urne avec remise

cassidy55
cassidy55
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour, voici l'énoncé d'un exercice sur lequel je bute un peu.

L’urne U contient une boule blanche et quatre boules noires ; l’urne V contient trois boules blanches et deux boules noires. Dans l’une des urnes choisie au hasard, on effectue une série de tirages d’une boule avec remise (tous les tirages ont lieu dans la même urne). Soit Ai
l’évènement “la i-ème boule tirée est blanche”.

1. Calculer P(A1), P(A2). A1 et A2 sont-ils indépendants ?
2. Calculer P(A1 n A2 n· · · n An), n appartient à N.
3. Sachant que les n premières boules tirées sont blanches, quelle est la probabilité d’avoir tiré dans U ?

Pas de soucis pour A1, mon résultat donne : P(A1)=P(A1|U)+P(A1|V)=1/5*1/2+3/5*1/2=2/5

En revanche, pour A2 je me demande si étant donné que l'on tire à chaque fois dans la même urne après le 1er tirage, les événements A et B sont indépendants (dans ce cas A2= 2/5 et même An = 2/5) où s'ils ne le sont pas (puisque qu'il y a plus de chance de tomber sur une boule blanche avec l'urne V qu'avec l'urne U).

Merci de votre aide.

Réponses

  • P.
    P.
    $$\Pr(A_1|U)=\Pr(A_2|U)=1/5,\ \Pr(A_1|V)=\Pr(A_2|V)=3/5,\ \Pr(A_1\cap A_2|U)=1/25,\ \Pr(A_1\cap A_2|V)=9/25$$$$ \Pr(A_1)=\Pr(A_2)=2/5, \Pr(A_1\cap A_2)=1/5.$$
  • lourrran
    lourrran
    P(A2) vaut 2/5, comme P(A1). ... et P(An) également.

    Pour calculer P(An), on tire $n-1$ fois une boule dans cette urne, on regarde ou ou i=on ne regarde pas la couleur à chaque fois, peu importe. Et on tire une n-ième fois une boule. Et on se demande la probabilité d'avoir une blanche ou bien une noire. Que ce soit le n-ième tirage, ou le 1er tirage, le calcul est le même.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • cassidy55
    cassidy55
    Bonjour et merci de votre aide.

    Je constate par ailleurs avoir mal rédigé la deuxième question, en effet, il est demandé de calculer l'intersection entre A1, A2, A3, jusqu'à An.
    Il faut calculer P(A1 n A2 n...n An)

    (j'ai corrigé l'erreur plus haut)

    Dans la mesure ou comme cela a été dit plus haut, P(A1)=P(A2), je devrais par conséquent pouvoir déterminer facilement si A1 et A2 sont indépendant.

    D'un coté (comme le calcul de l'auteur P. le montre, P(A1 n A2) = (1/5*1/5*1/2) + (3/5*3/5*1/2) = 1/5

    Or, si P(A) et P(B) sont indépendants alors P(A1 n A2) = P(A1)*P(A2) = 2/5*2/5 = 4/25

    Dois-je en conclure qu'ils ne sont pas indépendants ?

    Et qu'en advient-il de la deuxième question, en effet je pensais que le calcul se résumait à faire (2/5)^n

    En vous remerciant
  • P.
    P.
    $$\Pr(A_1\cap\ldots\cap A_n)=\Pr(A_1\cap\ldots\cap A_n|U)\Pr(U)+Pr(A_1\cap\ldots\cap A_n|V)\Pr(V)=\frac{1}{5^n}\times \frac{1}{2}+\frac{3^n}{5^n}\times \frac{1}{2}.$$
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