Tribu engendrée par une partition dénombrable
Soit $E$ un ensemble.
Soit $\mathcal P\subset\mathcal P(E)$ une partition dénombrable de $E$.
On pose $\mathcal A:=\{\cup_{A\in\mathcal I}A\mid\mathcal I\subset\mathcal P\}$.
J'essaie de montrer que $\sigma (\mathcal P)=\mathcal A$.
J'ai déjà montré que $\mathcal A$ est une tribu sur $E$ qui contient $\mathcal P$.
Il reste donc à montrer que c'est la plus petite vérifiant cela.
Soit $\mathcal B$ une tribu sur $E$ contenant $\mathcal P$. Soit $\mathcal I\subset\mathcal P$. On pose $X:=\cup_{A\in\mathcal I}A$. Pourquoi est-ce que $X\in\mathcal B$ ?
Soit $\mathcal P\subset\mathcal P(E)$ une partition dénombrable de $E$.
On pose $\mathcal A:=\{\cup_{A\in\mathcal I}A\mid\mathcal I\subset\mathcal P\}$.
J'essaie de montrer que $\sigma (\mathcal P)=\mathcal A$.
J'ai déjà montré que $\mathcal A$ est une tribu sur $E$ qui contient $\mathcal P$.
Il reste donc à montrer que c'est la plus petite vérifiant cela.
Soit $\mathcal B$ une tribu sur $E$ contenant $\mathcal P$. Soit $\mathcal I\subset\mathcal P$. On pose $X:=\cup_{A\in\mathcal I}A$. Pourquoi est-ce que $X\in\mathcal B$ ?
Réponses
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$X$ ne serait-il pas réunion dénombrable d'éléments de $\mathcal B$ ?
-
Parce que $\mathcal I$ est contenu dans $\mathcal P$ et est donc dénombrable.
-
En effet : $X=\cup_{A\in\mathcal I}A$ est une réunion dénombrable d'éléments de $\mathcal P$, donc de $\mathcal B$ car $\mathcal P\subset\mathcal B$. Comme $\mathcal B$ est une tribu, on a donc $X\in\mathcal B$.
-
Que est l'intérêt de ton $ (\cup_{\emptyset\in\mathcal P\setminus\mathcal I}\emptyset)$, qui ne fait d'ailleurs pas sens (l'ensemble vide n'appartient pas à $\mathcal P$) ?
-
En effet, ma réunion sur le vide est inutile (en plus d'être fausse). Merci !
J'en profite pour poser une autre question en lien avec le thème : peut-on décrire simplement $\sigma (\mathcal P)$ si $\mathcal P$ n'est plus supposée dénombrable ? -
Dans ce cas la tribu est formée par les ensembles qui sont unions dénombrables d'éléments de $\mathcal P$ ou dont le complémentaire est union dénombrable d'éléments de $\mathcal P$.
-
Ne supposons donc plus $\mathcal P$ dénombrable. On pose : $\mathcal A=\mathcal G\cup\mathcal D$ avec $\mathcal G=\{\cup_{A\in\mathcal I}A\mid I\subset\mathcal P, \mathcal I \text{ dénombrable } \}$ et $\mathcal D=\{(\cup_{A\in\mathcal I}A)^c\mid \mathcal I\subset\mathcal P,\mathcal I \text{ dénombrable } \}$.
Le fait que $\mathcal A$ soit stable par passage au complémentaire est évident mais je n'arrive pas à vérifier la stabilité par réunion dénombrable. -
@topopot soit $\displaystyle A=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}A_n$ avec $\forall n, A_n \in \mathcal A$.
1) Supposons que tous les $A_n$ sont dans $\mathcal G$. Alors chaque $A_n$ s'exprime comme $A_n=\bigcup_{k\in \mathbb{N}}A_n^{k}$ avec les $A_n^{k} \in \mathcal P$.
Par suite $A=\bigcup_{(n,k)\in \mathbb{N}^2}A_n^{k}$ est dans $\mathcal G$ donc dans $\mathcal A$.
2) Supposons qu'il existe un $m$ tel que $A_m \in \mathcal D$.
Alors $A_m^c \in \mathcal G$ et $A^c=\bigcap_{n\in \mathbb{N}}A_n^c \subset A_m^c$.
Donc (il faudrait détailler un peu plus mais j'ai la flemme et je trouve évident) $A^c \in \mathcal G$ et par suite $A\in \mathcal A$. -
J'avais en fait tenté la même chose, cette preuve ressemblant à celle disant que l'ensemble des parties dénombrables ou de complémentaire dénombrable est une tribu.
Dans le 2), on sait qu'il existe une partie $\mathcal I_m$ dénombrable de $\mathcal P$ telle que $A^c=\cap_{n\in\mathbf N} A_n^c \subset A_m^c=\cup_{A\in\mathcal I_m}A$.
Comment réécrire $A^c$ pour voir qu'il est dans $\mathcal G$ ? -
@topopot Il faut se rendre compte que $A^c$ ne peut pas contenir de parties "fractionnaires" d'éléments de $\mathcal P$. En d'autres termes si $F\in \mathcal P$ alors $F \cap A^c = \emptyset \text{ ou } F$.
[Pour le voir remarquons que si $B = \bigcup_{C\in J} C$ où $J\subset \mathcal P$ est dénombrable ou pas peu importe, alors $F\cap B = \emptyset \text{ ou } F$. En effet, $F\cap B=\bigcup_{C\in J} F\cap C$ or $\forall C\in J,F\cap C = \emptyset \text{ ou } F$ car $\mathcal P$ est une partition donc $F\cap B = \emptyset \text{ ou } F$.
À présent on a $F \cap A^c=\bigcap_{n\in\mathbf N} F\cap A_n^c$. Or les $A_n^c$ sont des unions d'éléments de $\mathcal P$ (comme le $B$ ci-dessus) donc $F\cap A_n^c= \emptyset \text{ ou } F$ et par suite, $F \cap A^c=\emptyset \text{ ou } F$.]
Donc si je reprends tes notations : $A^c=\bigcap_{n\in\mathbf N} A_n^c \subset A_m^c=\bigcup_{F\in\mathcal I_m}F$, on a :
$A^c = A^c \bigcap \cup_{F\in\mathcal I_m}F = \bigcup_{F\in\mathcal I_m} A^c \cap F$. Or pour tout $F\in \mathcal I_m$, $A^c\cap F= \emptyset \text{ ou } F$ par ce qu'on a dit précédemment,
donc $A^c=\bigcup_{\{F\in\mathcal I_m \mid F\cap A^c=F \}} F$.
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