Variables aléatoires et loi conjointe

JulesMhz · February 2020

Bonjour
J'ai un exercice à faire dont l'énoncé est le suivant.

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes gaussiennes, centrées et réduites :

p(x) = (1/sqrt(2.PI)) * e(-x²/2) et p(y) = (1/sqrt(2.PI)) * e(-y²/2)

La première question est : Montrer que la loi conjointe du couple de variable (X,Y) est p(x,y)=(1/2.PI)*e(-(x²+y²)/2)

Pour cette question je pense que je dois calculer l'intégrale double de p(x,y)dx.dy (voir pièce jointe), cependant je ne trouve pas le résultat escompté, j'ai les termes x et y au numérateur qui apparaissent.
Pouvez-vous me confirmer si c'est bien ce calcul que je dois faire, et éventuellement où est ma bêtise ?
Merci. 96734

gerard0 · February 2020

Bonjour.

Connais-tu le théorème qui dit que la loi jointe de deux variables indépendantes de densités f et g est fg ? Ça donne immédiatement le résultat. Et vu le calcul que tu fais, tu sembles utiliser cela (on dirait du Fubini).

Sinon, ton calcul d'intégrale est manifestement faux, puisqu'il n'a pas de sens pour x=0, valeur pourtant tout à fait acceptable. Tu as fait une erreur de lycéen, ta "primitive" est fausse (dérive $-\frac 1 x e^{-\frac{x^2}2}$, qui est un produit.

Cordialement.

JulesMhz · February 2020

Bonjour Gérard

Merci pour ta réponse, effectivement j'avais remarqué que si je faisais le produit des deux j'obtenais le résultat recherché, mais je ne pensais pas que c'était "aussi simple", et je viens de découvrir le théorème que tu cites, du coup ça me simplifie grandement la vie, mais bon ça m'a permis de me remémorer les erreurs à ne pas commettre lors d'un calcul de primitive d'exponentielle...

Merci !

JulesMhz · February 2020

Bonjour Gérard,

Toujours sur le même exercice, je bloque à la seconde question :

On effectue le changement de variable suivant (passage d’un système de coordonnées
cartésiennes à polaires):
R = sqrt(x²+y²) définie sur 0,+infini
Phi = arctg(y/x) si x>0 et arctg(y/x)+ Pi si x<0
Calculer la loi associée au couple de variable (R,Phi) notée q(r,Phi)

Pour ce faire, je suppose que le changement de variable passe par le Jacobien, qui donnerait quelque chose comme :

p(x,y)*|J((x,y)/(u,v))|

Mais à partir de là j'ai un doute sur les paramètres à utiliser, est-il correct de dire que :
x=sqrt(u²+v²) et y = arctg(v/u) ?

gerard0 · February 2020

Bizarre ce changement de variables, qui "oublie" le cas x=0.

Il vaudrait mieux l'écrire
$\begin {cases} x = R \cos(\varphi) \\ y=R\sin(\varphi) \end{cases}$
Dans l'autre sens, c'est souvent compliqué (détermination de $\varphi$ en quatre cas).

Je n'ai plus de cours sur ce sujet, je laisse la place à d'autres ..

Variables aléatoires et loi conjointe

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