Il faut calculer $\int_{-\infty}^xf(t)\mathrm{d}t$ pour tout $x$. On distingue deux cas selon que $x\le\theta$ ou que $x\ge\theta$.
Si $x\le\theta$, pour tout $t\le x\le\theta$, on a $|t-\theta|=-t+\theta$ donc \[
F(x)=\int_{-\infty}^x\frac12\mathrm{e}^{t-\theta}\mathrm{d}t=\frac12\mathrm{e}^{x-\theta}.\]En particulier, $F(\theta)=1/2$.
Si $x\ge\theta$, on coupe [
F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^\theta f(t)\mathrm{d}t+\int_\theta^xf(t)\mathrm{d}t=\frac12+
\int_\theta^x\frac12\mathrm{e}^{t-\theta}\mathrm{d}t=1-\frac12\mathrm{e}^{\theta-x}.\](On retrouve bien $F(\theta)=1/2$ et $\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$.)
Réponses
Si $x\le\theta$, pour tout $t\le x\le\theta$, on a $|t-\theta|=-t+\theta$ donc \[
F(x)=\int_{-\infty}^x\frac12\mathrm{e}^{t-\theta}\mathrm{d}t=\frac12\mathrm{e}^{x-\theta}.\]En particulier, $F(\theta)=1/2$.
Si $x\ge\theta$, on coupe [
F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^\theta f(t)\mathrm{d}t+\int_\theta^xf(t)\mathrm{d}t=\frac12+
\int_\theta^x\frac12\mathrm{e}^{t-\theta}\mathrm{d}t=1-\frac12\mathrm{e}^{\theta-x}.\](On retrouve bien $F(\theta)=1/2$ et $\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$.)
merci de votre réponse, elle m'aide et me rassure.
Encore merci , bonne journée.
S_U.