Convergence des martingales
Bonjour, il est écrit dans mon cours
Bonne journée.
$X_{n}$ is bounded almost surely so it converges almost surely and in $L_{1}$,
où $X_{n}$ est une martingale. Dois-je comprendre que la convergence se fait dans $L_{1}$ ou que la limite est dans $L_{1}$. Merci pour votre aide.Bonne journée.
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Réponses
Ton affirmation est-elle toujours vraie ?
Siméon :
pour p =1 : si une martingale est bounded in L1 alors elle converge a.s et la limite est finie
pour p>1 : si une martingale est bounded in Lp alors elle converge a.s (et aussi dans Lp) et la limite est dans Lp
where bouded in Lp means sup E|Xn| finite
Faisons simple : on considère la martingale $M$ définie par $n \mapsto X_1X_2\cdots X_n$ où $X$ est une suite i.i.d. de variables de Poisson de paramètre $1$.
Que vaut $\sup_n E(|M_n|)$ ?
Quelle est la limite p.s. de cette martingale ?
A-t-on $\lim_{n\to\infty} E(M_n) = E(\lim_{n\to\infty} M_n)$ ?
La limite p.s comme ça je ne vois pas, à moins de dire +infini ce qui est faux.
Quelle est la probabilité que tous les $X_n$ soient non nuls ?
On a donc une martingale $M_{n}$ qui est bornée dans $L_{1}$. Donc elle converge presque sûrement par le théorème de départ.
De plus l'espérance de $M_{n}$ vaut $1$ donc à la limite également. Notons $M$ la limite presque sûr de $M_{n}$ est supposons qu'elle soit non nulle presque sûrement. Alors on a en passant à la limite $\lim_{n} P(M_{n}>0) = P(M>0)$ (en passant par les espérances d'indicatrice). Mais grâce à ton aide cela donne $0=1$. C'est absurde et donc $M$ est nulle presque sûrement.
Finalement $\lim_{n\to\infty} E(M_n) \ne E(\lim_{n\to\infty} M_n)$. Par inégalité triangulaire, si il y avait convergence dans $L_1$ on aurait la convergence vers $0$ de $|E(M_{n})-E(M)|$.
Ce qui est faux. D'où le contre-exemple.
C'est tout bon ? (merci encore)
P.S. Le bon critère pour la convergence dans $L^1$ est en fait l'uniforme intégrabilité de la martingale.