Convergence des martingales

Merci beaucoup poirot ! Maintenant supposons que la suite ne soit plus "bounded a.s" mais "bounded a.s in $L_{1}$" au sens où le sup des espérances de |$X_{n}$| est fini (norme $1$ de la suite majorée indépendamment de $n$).
Ton affirmation est-elle toujours vraie ?

Enfin j'ai envie de dire qu'en prenant un n-uplet, quand n devient infiniment grand alors presque sûrement toutes les variables Xn ne prennent pas la valeur 0 ou 1 et donc presque surement quand n tend vers l'infini Mn=+infini

Le produit vaut P(X>0)^n par indépendance c'est-à-dire vaut (1-P(X=0))^n qui vaut 0, ok ?

Désolé pour le retard Siméon j'étais absent et merci pour ton aide !

On a donc une martingale $M_{n}$ qui est bornée dans $L_{1}$. Donc elle converge presque sûrement par le théorème de départ.

De plus l'espérance de $M_{n}$ vaut $1$ donc à la limite également. Notons $M$ la limite presque sûr de $M_{n}$ est supposons qu'elle soit non nulle presque sûrement. Alors on a en passant à la limite $\lim_{n} P(M_{n}>0) = P(M>0)$ (en passant par les espérances d'indicatrice). Mais grâce à ton aide cela donne $0=1$. C'est absurde et donc $M$ est nulle presque sûrement.

Finalement $\lim_{n\to\infty} E(M_n) \ne E(\lim_{n\to\infty} M_n)$. Par inégalité triangulaire, si il y avait convergence dans $L_1$ on aurait la convergence vers $0$ de $|E(M_{n})-E(M)|$.
Ce qui est faux. D'où le contre-exemple.

C'est tout bon ? (merci encore)