Modification / version d'un processus
Bonjour, dans le cadre de mes études je suis un cours sur les processus stochastiques mais j'ai beaucoup de mal à interpréter la notion de modification (ou version) d'un processus stochastique. Je comprends bien la définition mais je ne comprends pas trop l'interprétation qu'on en fait.
Typiquement, on peut construire le brownien avec le théorème de consistance et on démontre ensuite avec Kolgomorov-Centsov qu'il admet une modification dont les trajectoires sont continues. Alors ok, je veux bien, mais à quoi cela sert-il ? Par exemple, on fabrique facilement des processus dont les trajectoires ne sont pas du tout continues et qui admettent pourtant une modification où les trajectoires sont toutes continues ... En quoi cela me renseigne-t-il de savoir que j'ai une modification continue alors que mon truc ne l'est peut-être pas du tout ?
Autre chose, on démontre après que le brownien est dérivable nul part justement en se servant de la continuité des trajectoires, mais du coup on devrait plutôt dire qu' "une modification continue du brownien" est dérivable nul part plutôt que de dire juste "brownien" ?
En fait ce qui me perturbe c'est qu'on montre le résultat sur une modification et on fait comme si c'était vrai pour n'importe quel brownien. La notion d'indistinguabilité montre quand même qu'une modification ne fait pas tout office d'égalité presque sûre ...
Je vous remercie par avance et excusez-moi si je ne suis pas clair :-)
Typiquement, on peut construire le brownien avec le théorème de consistance et on démontre ensuite avec Kolgomorov-Centsov qu'il admet une modification dont les trajectoires sont continues. Alors ok, je veux bien, mais à quoi cela sert-il ? Par exemple, on fabrique facilement des processus dont les trajectoires ne sont pas du tout continues et qui admettent pourtant une modification où les trajectoires sont toutes continues ... En quoi cela me renseigne-t-il de savoir que j'ai une modification continue alors que mon truc ne l'est peut-être pas du tout ?
Autre chose, on démontre après que le brownien est dérivable nul part justement en se servant de la continuité des trajectoires, mais du coup on devrait plutôt dire qu' "une modification continue du brownien" est dérivable nul part plutôt que de dire juste "brownien" ?
En fait ce qui me perturbe c'est qu'on montre le résultat sur une modification et on fait comme si c'était vrai pour n'importe quel brownien. La notion d'indistinguabilité montre quand même qu'une modification ne fait pas tout office d'égalité presque sûre ...
Je vous remercie par avance et excusez-moi si je ne suis pas clair :-)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Pour le reste, tu peux montrer que si $(X_t)_{t \in \mathbb{R}^{+}}$ est une modification de $(Y_t)_{t \in \mathbb{R}^{+}}$ et que ces deux processus sont (presque sûrement) continus alors ils sont en fait indistinguables et ont donc les mêmes trajectoires: tout résultat sur les trajectoires de l'un est aussi vrai pour l'autre (en particulier, la dérivabilité).