Martingales et loi de Laplace

Tu peux nous montrer le passage sur la variable aléatoire $E$ ?

Je crois que c'est simplement la propriété d'absence de mémoire pour la loi exponentielle.

Au moment où $S_n$ franchit $b$ en montant, la taille du reste $S_T-b$ est indépendante de tout ce qui s'est passé avant, et de là où on en était en dessous de $b$, puisqu'on vient de rajouter une variable exponentielle. (car on montait, donc on conditionne par "la variable de Laplace était positive.")

Même chose quand $S_n$ franchit $0$ en descendant.

Bonjour Celmar 2 Ceaumar,

J'ai du mal à suivre tous les arguments invoqués par le corrigé, mais rien de plus normal, car mes connaissances en probabilités sont plutôt minces. C'est donc une bonne raison pour mettre mon grain de sel et proposer un bricolage qui conduit néanmoins aux calculs de $\Pr (S_T\geqslant b)$ et de $\mathbb E(T)$ et qui ne fait pas usage de "l'optionnal stopping theorem". Cela ne répond certes pas aux questions que tu poses.
A noter que les propriétés de la densité de $X$ (loi de Laplace) interviennent favorablement dans l'obtention du résultat.


Je note $B= [S_T \geqslant b],\:$ et $\quad \forall t \in [0;b],\:\: F(t) = \Pr \big( B \mid S_0 =t \big).\quad$ Alors, $\:\: \forall a \in [0;b] $:
$\:\: \begin {align*}F(a) & =\Pr \Big( B\cap \big[S_1 \notin [0;b] \big] \mid S_0 =a \Big) + \Pr \Big( B\cap \big[S_1 \in [0;b]\big] \mid S_0 =a \Big )\\ F(a) &=\displaystyle \int _{b-a}^{+\infty } f_X(t) \:\mathrm dt +\int _{-a} ^{b-a} f_X(t)\:\Pr \big (B \mid S_0 =a+t \big)\:\mathrm dt =\int _{b-a}^{+\infty} f_X(t) \: \mathrm dt + \int _{-a} ^{b-a} f_X(t) \: F(a+t) \:\mathrm dt \end{align*}$
$$ 2 F(a) = \mathrm e^{a-b} + \mathrm e ^{-a} \int _0 ^a \mathrm e^t\: F(t)\: \mathrm dt + \mathrm e^a\int _a ^b \mathrm e^{-t}\: F(t) \: \mathrm dt \qquad(\star)$$
En dérivant deux fois $(\star)$, on obtient $F''(a) =0.\:\:\:$ Ainsi, $F$ est affine: $\:\: F(a)= ma+ p, \quad m,p \in \R.$
Les relations (issues de $(\star)$)$\:\:\: \:2 F(0)= 2p= \mathrm e^{-b} +\displaystyle \int_0 ^b \mathrm e^{-t} \:(mt+p) \:\mathrm dt , \qquad 2F(b) =2(mb+p) = 1 +\mathrm e ^{-b} \int_ 0 ^b \mathrm e ^t \:(mt+p)\:\mathrm dt\:\:$
mènent alors à: $\:\:m = p=\dfrac 1{ b+2}\:\:$ c'est à dire à $\:\: \boxed{ \Pr (B\mid S_0 =a) = \dfrac {a+1}{b+2}.}$

En effectuant des calculs assez similaires aux précédents, on parvient également à: $$\boxed{\mathbb E(T)= \dfrac {-a^2 +ab +b+2}2,\qquad \mathbb E(E) =1,\qquad \mathbb E(S_T) =a.}$$