Chaîne de Markov

Celmar2Ceaumar · February 2020

Bonsoir,
quelqu'un saurait-il comment passer de la première à la seconde définition, les deux définitions étant apparemment équivalentes ?

Pour f : E -> R+ bornée avec E finie ou dénombrable et Q la matrice de transition de la chaîne de Markov. 97118

Celmar2Ceaumar · February 2020

en fait je pars plutôt de la seconde et je ne comprends pas comment obtenir la première ni comment on passe du membre de gauche au membre du milieu au membre de droite.

marsup · February 2020

Pour passer de la deuxième formule à la première, prendre $f(x) = 1_{x=y}$.

Pour la première formule, pour passer de la première égalité à la deuxième, il s'agit de remarquer que la loi de $X_{n+1}$ connaissant le passé $F_n = \sigma(X_0,\dots,X_n)$ ne dépend que de $X_n$.

Donc la loi de $X_{n+1}|F_n = $ la loi de $X_{n+1}$ connaissant $X_n$ (le présent). Ça s'appelle (roulement de tambour) la propriété de Markov.

Celmar2Ceaumar · February 2020

1) Justement, c'est ce à quoi tout de suite j'ai pensé mais ça ne fonctionnait pas. je vais re-essayer merci.

2 ) Merci beaucoup marsup

Celmar2Ceaumar · February 2020

marsup, pourrais-tu finalement détailler le calcul s'il te plait pour passer de la 2) à la 1) ?
En fait je me perds avec entre vecteurs fonctions et nombre...

Si je prends $f(x) = 1_{x=y}$ alors on peut identifier $f$ au vecteur colonne qui vaut $0$ partout sauf à la ligne $y$ où il vaut $1$. $Qf(X_{n})$ ne peut donc par être égal à $Q(X_{n},y)$. Enfin je me suis perdu je veux bien de l'aide s'il te plaît.
Merci.

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