Petits exos sur sommes de va exponentielles

Je ne détaille pas les calculs.
1) Notons pour $N\in \mathbb{N}^{*},$ $\displaystyle P_{N}(X)=\prod_{k=1}^{N}(a_{i}X+1)$ et, $\displaystyle Y_{N}=\displaystyle \sum_{k=1}^{N}a_{k}X_{k}.$
Alors, par inversion de Laplace, après avoir procédé à une décomposition en éléments simples (c'est ici que le fait que les $a_{i}$ soient deux à deux distincts intervient), la densité de la variable aléatoire $Y_{N}$ est : $$
f_{Y_{N}}(x)=\left\{ \begin{array}{rl}
\sum_{k=1}^{N}\frac{e^{-\frac{x}{a_{k}}}}{P'_{N}(-\frac{1}{a_{k}})},& \mbox{ si } x>0\\
0 ,&\mbox{ sinon.}
\end{array}\right.

$$ 2) Comme je ne vois pas le rapport avec la première question, on peut indiquer que dans le cadre de l'énoncé, le résultat découle directement de l'utilisation du théorème des trois séries de Kolmogorov.

Comme ici, toutes les quantités en jeu sont positives, on peut en donner une preuve "à la mano".
La condition nécessaire est suffisante est que la suite $a$ soit $\ell^{1}$ (mais pas nécessairement injective... et il me semble que les va $X_{k}$ n'ont nul besoin d'être indépendantes mais seulement de suivre la même loi).

*Si $a\in \ell^{1}$ alors, on a par Fubini positif : $\displaystyle \mathbb{E}[Y]=\sum_{k\geq 1}a_{k}<+\infty.$
Et ainsi, $Y$ est finie pp.

**Réciproquement, si on suppose que $Y$ est finie pp. vu que les quantités en jeu sont positives (par croissance des sommes partielles définissant $Y$), il vient que la série aléatoire converge pp.
Alors, il existe un ensemble de probabilité (arbitrairement) grande : $A$ (lemme d'Egorov) sur lequel $Y$ est uniformément bornée sur $A$ (disons par $M$).
Il vient alors par le lemme de convergence monotone et comme chacune des $X_{k}$ suivent la même loi :
\begin{align*}
\sum_{k\geq 1}a_{k} & \lesssim \sum_{k\geq 1}a_{k}\mathbb{E}[X_{k}\mathrm{1}_{A}]\\
& = \mathbb{E}[Y\mathrm{1}_{A}]\\
& \leq M.

\end{align*} Ainsi, la suite $a$ est nécessairement $\ell^{1}.$