Calcul probabiliste

Pour la 1) ce n'est pas la tribu discrète qu'il faut prendre mais la tribu cylindrique voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Tribu_(mathématiques)#Tribu_cylindrique

pour la mesure de probabilité c'est la probabilité "produit" (je ne suis pas sûr qu'elle porte ce nom) voir également le lien wiki ci-dessus.

Pour la 2) c'est ok (à part qu'on note $\binom{2k}{k}$ au lieu de $\binom{k}{2k}$)

Dans ton cas $\Omega =\{-1,1\}^ {\N}$ et la tribu cylindrique est la tribu engendrée par les parties de la forme $$\{-1,1\} \times \{-1,1\} \times ... \times \{-1,1\} \times \{k\} \times \{-1,1\} \times ...$$

avec $k\in \{-1,1\}$.

Dit autrement si on note $B_1^n$ l'ensemble des éléments de $\{-1,1\}^ {\N}$ dont la n-ème coordonnée vaut $1$ (et $B_{-1}^n$ l'ensemble des éléments dont la n-ème coordonnée vaut $-1$) alors la tribu cylindrique est la tribu engendrée par les ensembles $B_1^n$, $B_{-1}^n$ pour $n\in \mathbb{N}$.

En ce qui concerne la probabilité, si par commodité on note $p(1)$ au lieu de $p$ et $p(-1)$ au lieu de $1-p$ alors le théorème énoncé dans le lien wiki garantit qu'il existe une unique mesure de probabilité sur la tribu cylindrique qui vérifie $$P(\{k_1\}\times \{k_2\} \times ... \{k_n\} \times \{-1,1\}\times \{-1,1\} \times...)=p(k_1)\cdot p(k_2)\, \cdot\, ...\cdot \, p(k_n)$$

En particulier on a $P(B_1^n)=p$ et $P(B_{-1}^n)=1-p$.

Kcg a écrit:

N'y a-t-il pas plus simple pour définir ma tribu et ma probabilité ici ?

Non c'est le plus simple dans le sens où l'on prend la tribu la moins fine qui permet de modéliser le problème. C'est la tribu la moins fine qui contient les événement "le marcheur se déplace vers la droite/gauche à l'instant $n$" (ces événements sont les $B_1^n$ et $B_{-1}^n$ d'ailleurs).

Enfin si tu as montré que $\sum\limits_{n \in \N} P(A_{n}) < \infty$ alors par le Théorème de Borel-Cantelli tu en déduis que...