Espace de Lévy et complétude

Bonjour.

Soit $\mathcal{P}$ l'espace des mesures de probabilités sur $(\mathbb{R},B(\mathbb{R})).$ Soit $d$ l'application définie pour tout $\mu,\sigma \in \mathcal{P},$ par $d(\mu,\sigma)=\inf(\epsilon>0,\ \forall x \in \mathbb{R},\ F_{\sigma}(x-\epsilon)-\epsilon \leq F_{\mu}(x) \leq F_{\sigma}(x+\epsilon)+\epsilon),$ où l'on désigne par $F$ la fonction de répartition d'une mesure de probabilité.
Il est facile de prouver que $(\mathcal{P},d)$ est un espace métrique et j'ai réussi à vérifier que $(\mu_n)_n$ converge étroitement vers $\mu$ si et seulement si $\lim_n d(\mu_n,\mu)=0.$

En cherchant sur internet les différentes propriétés de cet espace, j'ai trouvé que cet espace (appelé espace de Lévy) est complet, mais sans une preuve "rigoureuse" : si $(\mu_n)_n$ est une suite de Cauchy, on peut trouver une sous-suite $(\mu_{\phi(n)})_n$ telle que $d(\mu_{\phi(n+1)},\mu_{\phi(n)})<\frac{1}{2^{n+1}},$ pour aboutir à l'existence d'une mesure de probabilité qui soit la limite en loi de la suite.

J'espère si vous avez des idées concernant ce sujet.
Merci.