Mesure invariante

Voici : https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~jflegall/IPPA2.pdf

N'importe quel point pour la marche de l'ivrogne sur Z.

Ça s'appelle chaîne récurrente positive ou marche récurrente nulle.

Voici un extrait page 211 du poly de Le Gall.

Plaçons-nous dans un cadre irréductible.
L'important, je pense, c'est d'abord de comprendre la différence entre récurrent et transitoire: je suis sûr de revenir ou pas. Si on n'est pas sûr de revenir, on finira bien par se paumer.

Ensuite, il y a la subtilité récurrent positif/récurrent nul. Il faut retenir que c'est une subtilité qui n'existe pas en espace d'état fini, où les états récurrents sont toujours récurrents positifs.

Pourquoi cela coïncide lorsque l'espace d'état est fini ? Une manière de voir, c'est que récurrent positif est équivalent à l'existence d'une proba invariante, et que cette existence est automatique en espace fini pour des raisons de compacité.
Et moralement, en espace fini, on ne peut pas aller bien loin....
En fait, il n'est pas très difficile de voir qu'en espace fini irréductible, la loi des temps de retour à des moments exponentiels (on montre qu'il existe $q<1$ et $T$ tels que $P(T>(n+1)T)\le qP(T>nT)$.)

En espace infini, la zoologie est large
- marche au plus proche voisin sur $\Z^d$, d=1 ou 2: récurrente nulle
- marche au plus proche voisin sur $\Z^d$, $d\ge 3$: transiente
C'est logique: plus l'espace est grand, plus on peut se perdre.
- processus de renouvellement avec loi intégrable (sur $\N$): récurrent positif.

Le processus de renouvellement, c'est le processus du nombre de gateaux dans ton paquet: chaque jour, tu manges un gateau, et quand le paquet est vide, tu vas acheter un paquet dont le nombre de gateau est aléatoire, indépendant de ce qui précède, selon une loi.
Intuitivement, on comprend bien sur cet exemple qu'il y a une dérive vers $0$ qui force la récurrence.
Cette récurrence sera positive si et seulement si la loi de la taille du paquet est intégrable, vu que c'est la loi du temps du passage de 0 à 0.

Et quelle est ta question?


Dans le dernier exo $$X_t=U_t+U_tU_{t-1}+\cdots+U_t\ldots U_1\sim \sum_{n=1}^t U_1U_2\ldots U_n$$ Si $T=\inf\{n>0; U_n=0\}$ alors $T$ est une loi geometrique $\Pr(T>n)=p^n$ et la loi de $T-1=\sum_{n=1}^{\infty}U_1U_2\ldots U_n$ est une loi stationnaire de $(X_t).$ L'unicite vient du cours.