Mesure de Wiener

Bonjour.

Pour toute application $S$ symétrique semi-définie positive, le théorème de consistance de Kolmogorov nous assure l'existence d'un espace probabilisé sur lequel vit un processus gaussien centré de covariance donnée par l'application $S$.

On définie donc $S : L^2(\mathbb{R}) \times L^2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ par $ S(f,g) := \langle f , g \rangle_{L^2}$. On a donc l'existence d'un processus gaussien centré $(A_f)_{f \in L^2}$ tel que $cov(A_f, A_g) = \langle f , g \rangle_{L^2}$ sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$.

On définit ensuite $\mathbb{W}(f) := A_f$ pour toute fonction $f \in L^2$. Par abus de notation, pour tout borélien $A$ de mesure finie, on écrit $\mathbb{W}(A)$ plutôt que $\mathbb{W}(1_A)$.

On a la propriété d'isométrie fondamentale $||f||_{L^2(\mathbb{R})}^2 = Var(\mathbb{W}(f)) = ||\mathbb{W}(f)||_{L^2\mathbb(\Omega)}^2 $ ce qui montre que $\mathbb{W}(f)$ suit une $\mathcal{N}(0,||f||_{L^2}^2)$.

On définit ensuite l'intégrale de Wiener pour les fonctions escaliers par : $\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}} \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i 1_{A_i}(s) d\mathbb{W}(s) := \sum_{i=1}^n \alpha_i \mathbb{W}(A_i) $. Tu peux vérifier que l'on a toujours une isométrie $\left|\left| \displaystyle{\int_{\mathbb{R}}} f(s) d\mathbb{W}(s) \right|\right|_{L^2(\Omega)} = ||f||_{L^2(\mathbb{R})}$ pour toute fonction $f$ en escaliers.

Maintenant pour définir l'intégrale sur tout $L^2$, on considère une fonction $f \in L^2$ qui est limite d'une suite de fonctions en escaliers $(f_n)_n$. Cette dernière converge et donc est de Cauchy ; par la propriété d'isométrie $(\int f_n d\mathbb{W})_n$ reste de Cauchy dans notre $L^2(\Omega)$ qui est complet donc notre notre suite de Cauchy converge vers une limite qu'on note $\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}}f(s) d\mathbb{W}(s)$. Il faudrait montrer que la limite ne dépend pas de la suite Cauchy choisie mais ce n'est pas très difficile et pas très intéressant.

L'intégrale de Wiener d'une fonction $f$ est donc limite pour la convergence $L^2$ d'une suite de variables aléatoires normales. La convergence $L^2 $ entraîne la convergence en loi et une limite en loi de normales reste normale donc l'intégrale de Wiener d'une fonction $f$ suit une normale. De plus, la propriété d'isométrie est conservée par passage à la limite et donc $\displaystyle{\int_{\mathbb{R}}}f(s) d\mathbb{W}(s) \sim \mathcal{N}(0,||f||_{L^2}^2)$.