Convergence de la moyenne empirique

r.k95 · March 2020

Bonjour.

Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires réelles indépendantes. Soit $\overline{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k.$
Vérifier que si $(\overline{X}_n)_n$ converge en probabilité vers $0$ et si $(\overline{X}_{2^n})_n$ converge p.s vers $0$ alors $\overline{X}_n$ converge p.s vers $0$.

Je ne sais pas comment commencer, je suis reconnaissant si vous pouvez me donner une indication.
Merci.

marsup · March 2020

Tu as essayé de dire : $\displaystyle
P((Y_n) \text{ cv}) =
\lim_{\epsilon\to 0}
\lim_{N\to\infty}
P(
\sup_{i\ge N} |Y_i-Y_N|\le \epsilon
)
$ ? (je n'ai pas vérifié si ça marche !)

r.k95 · March 2020

$\overline{X}_n$ converge p.s vers 0 si et seulement si $\ \forall \epsilon>0,\ \lim\limits_nP(\sup\limits_{k \geq n}| \overline{X} _k|>\epsilon)=0.$

Dans ce cas, comment estimer ou majorer $P(\max\limits_{1 \leq l \leq k}{\overline{X}_{l+n}}>\epsilon)\ ?$
Faut-il utiliser les inégalités classiques ?

Convergence de la moyenne empirique

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