Inégalité binomiale
Bonjour à tous
Savez vous prouver que $$
P \Big(X \ge \frac{K}{2}\Big) \le \exp\Big(\frac{-K}{8}\Big)
$$ avec $X$ qui suit $\text{Bin}(K,\frac{1}{4}).$
Merci et bon dimanche !
Savez vous prouver que $$
P \Big(X \ge \frac{K}{2}\Big) \le \exp\Big(\frac{-K}{8}\Big)
$$ avec $X$ qui suit $\text{Bin}(K,\frac{1}{4}).$
Merci et bon dimanche !
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Réponses
[Herman Chernoff (1923- ) prend toujours une majuscule. AD]
[ Bernoulli ne prend pas de 'i' avant ses deux 'll'. ;-) AD]
$P(X\ge K/2) = P(\exp(X) \ge \exp(K/2)) \le \frac{1}{\exp(K/2)} \cdot E[\exp(X)]$.
Or $\exp(X) = \big[q+p\exp(1)\big]^K$, avec $p=\frac{1}{4}$, $q=\frac{3}{4}$.
Ça donne : $$P(X\ge K/2) \le
\frac{[q+p\exp(1)]^K}{\exp(K/2)} =
\Big[
\frac{q+p\exp(1)}{\exp(1/2)}\Big]^K = A^K,$$ pour $A$ ce que P a dit.
En revanche, je ne sais pas trop la comprendre sans calculatrice.
Edit $\log (1+b)>b-\frac{b^2}{2}$ et non l'inverse! On cherche encore une demonstration sans machine.
Taper simplement "Chernoff bound" dans Qwant (ou autre) amène déjà une foultitude d'infos.