Inégalité binomiale

Ou bien : https://sarielhp.org/teach/10/a_rand_alg/lec/07_chernoff.pdf

Mais non ! Je répète ce que P a dit :

$P(X\ge K/2) = P(\exp(X) \ge \exp(K/2)) \le \frac{1}{\exp(K/2)} \cdot E[\exp(X)]$.

Or $\exp(X) = \big[q+p\exp(1)\big]^K$, avec $p=\frac{1}{4}$, $q=\frac{3}{4}$.

Ça donne : $$P(X\ge K/2) \le
\frac{[q+p\exp(1)]^K}{\exp(K/2)} =
\Big[
\frac{q+p\exp(1)}{\exp(1/2)}\Big]^K = A^K,$$ pour $A$ ce que P a dit.

Pour montrer $A<e^{-1/8}$ on prend $a=\frac{1}{2}(\log 3-1)$ et on a $$A= \frac{\sqrt{3}}{2}\cosh a\leq \frac{\sqrt{3}}{2}e^a= \frac{3}{2}e^{-1/2}$$ Appliquons alors l'inegalite $\log (1+b)<b-\frac{b^2}{2}$ a la valeur $b=1/2$ pour avoir exactement $\log (3/2)\leq 3/8.$



Edit $\log (1+b)>b-\frac{b^2}{2}$ et non l'inverse! On cherche encore une demonstration sans machine.