Couple de variables aléatoires
Salut à tous,
Dans une urne contenant $4$ boules indiscernables au toucher numérotées de $1$ à $4$. On en tire simultanément deux.
Soient $X$ le plus petit des numéros sortis et $Y$ le plus grand.
Je cherche à déterminer la loi conjointe et les lois marginales de $X$ et $Y$ ?
Pour cela, voilà ce que j'ai fait.
On a bien: $P(X=2\mid Y=2)=0$, de même que $P(X=3\mid Y=2)=0$, de même que $P(X=3
\mid Y=3)=0$. Donc $$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
X\mid Y & 2 & 3 & 4 & \text{Loi marginale de} \, X\\
\hline
1 & . & . & . & .\\
\hline
2 & 0 & . & . & .\\
\hline
3 & 0 & 0 & . & .\\
\hline
\text{Loi marginale de} \, Y & . & . & . & .\\
\hline
\end{array}
$$ J'ai un problème pour calculer par exemple $P(X=1, Y=2)=P(X=1\mid Y=2) P(Y=2)$ ?
Merci d'avance.
[Merci à marsup pour la correction du LaTeX. :-) AD]
Dans une urne contenant $4$ boules indiscernables au toucher numérotées de $1$ à $4$. On en tire simultanément deux.
Soient $X$ le plus petit des numéros sortis et $Y$ le plus grand.
Je cherche à déterminer la loi conjointe et les lois marginales de $X$ et $Y$ ?
Pour cela, voilà ce que j'ai fait.
On a bien: $P(X=2\mid Y=2)=0$, de même que $P(X=3\mid Y=2)=0$, de même que $P(X=3
\mid Y=3)=0$. Donc $$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
X\mid Y & 2 & 3 & 4 & \text{Loi marginale de} \, X\\
\hline
1 & . & . & . & .\\
\hline
2 & 0 & . & . & .\\
\hline
3 & 0 & 0 & . & .\\
\hline
\text{Loi marginale de} \, Y & . & . & . & .\\
\hline
\end{array}
$$ J'ai un problème pour calculer par exemple $P(X=1, Y=2)=P(X=1\mid Y=2) P(Y=2)$ ?
Merci d'avance.
[Merci à marsup pour la correction du LaTeX. :-) AD]
Réponses
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Les six autres cas sont équiprobables, il me semble.
-
Oui, les six autres cas sont équiprobables et de probabilité vaut $\frac{1}{6}$. Mais j'ai trouvé des difficultés pour arriver à les calculer!!
-
Pour calculer quoi ? Leur probabilité est de $\frac16$. Que veux-tu savoir de plus ?
-
La méthode pour calculer (par exemple) ce type des probabilités: $P(X=1, Y=2)=P(X=1\mid Y=2) P(Y=2)$.
Est ce que, en utilisant la définition des probabilités conditionnelles, $P(X=1, Y=2)=P(X=1\mid Y=2) P(Y=2)=P((X=1)\cap (Y=2))$ et (en notons $\Omega$ l’univers de l’expérience aléatoire)
$$P((X=1)\cap (Y=2))=\frac{card((X=1)\cap (Y=2))}{card \, \Omega} = \frac{card((X=1)\cap (Y=2))}{C_4^2} = \frac{card((X=1)\cap (Y=2))}{6}= ...$$ ou bien quoi? -
Qu'est ce que tu appelles $\Omega$, au juste ? (edit, mieux posé : quel est l'univers $\Omega$ que tu considères ?)
-
oui oui $\Omega$ c'est l'univers
-
Et comment est-il fait, cet univers ?
-
Voyons ton univers. Tu considères les 6 tirages de 2 boules (sans ordre). L'univers est donc (j'écris les résultats par ordre croissant, mais (1,2) et (2,1), c'est le même tirage) : {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)} Comment peux-tu justifier l'équiprobabilité sur cet univers ?
En voici un autre. Je regarde une première boule dans le tirage, puis la deuxième. Il y a maintenant un ordre. L'univers est {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3)}. Peux-tu justifier l'équiprobabilité maintenant ?
En fait, le "tirage simultané", en pratique, est le tirage d'une première boule puis d'une deuxième différente, donc un tirage de 2 boules sans remise.
Cordialement. -
Oui, on a un tirage simultanément sans remise, l'ordre n'est important dans ce cas, et donc comme vous avez indiqué: $ \Omega=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) \}$, donc
\begin{align*}
P(X=1\mid Y=2)&=P(X=1\mid Y=3)=P(X=1\mid Y=4)\\
&= P(X=2\mid Y=3)=P(X=2\mid Y=4)\\
&=P(X=3\mid Y=4)=\frac{1}{6}.
\end{align*} -
Zakariyae :
Je ne comprends pas le "donc". En général, ce mot, en maths, dit l'utilisation d'un théorème ou d'une définition. ici, je n'en vois pas. Et je ne comprends pas la suite, la notation $P(A | $ étant celle d'une probabilité conditionnelle.
Peux-tu expliquer (application de règles connues) ?
Cordialement. -
@gerard0,
On a un tirage simultanément sans remise, l'ordre n'est important dans ce cas. L'univers de cette expérience est: $ \Omega=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) \}$, avec $card \, \Omega=C^2_4=6$.
D'après de ce que j'ai compris, $P(X=1\mid Y=2)$: c'est la probabilité de l'événement "tirer une boule avec le numéro $1$ et une boule avec le numéro $2$" (l'ordre n'est important), donc c'est l'événement $(1,2)$. Cette événement a pour probabilité égale à $\frac{1}{6}$.
De même, pour $P(X=1\mid Y=3)= \frac{1}{6}$ et $P(X=1\mid Y=4)= \frac{1}{6}$ ... -
Tu ne sembles pas connaître la définition d'une probabilité conditionnelle.
-
Non, je la connu: par définition $P(A | =\frac{P(A\cap }{P(B)}$ ou si on utilise la formule de Bayes $P(A | =\frac{P(B | A) P(A)}{P(B)}$.
-
L'événement « ($X=1$ et $Y=2$) » est l'un des événements élémentaires donc il a une probabilité égale à $1/6$. Il reste à diviser par la probabilité de $Y=2$.
Dans ce cas très précis, si on sait que $Y=2$, que peut valoir $X$ ? avec quelle(s) probabilité(s) ? -
P(X=1 | Y=2), ce n'est pas la même chose que P(X=1,Y=2)
P(X=1 | Y=2) vaut 1 alors que P(X=1,Y=2) vaut 1/6Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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