Indépendance de v.a.r

Bonjour, je voudrais une confirmation svp.

Pour montrer que deux variables aléatoires sont indépendantes on peut montrer que la densité du couple est égale au produit des densités de chaque variable. Mais le fait qu'elles ne soient pas indépendantes ne peut découler de la non-égalité, car d'après le théorème, il y a indépendance ssi $f_{X,Y}(x,y) = f_{X}(x) * f_{Y}(y)$ pour presque tout $(x,y) \in \R^{2}$.
On ne peux que déduire cela du fait que $f(x,y)$ ne peut s’écrire comme le produit d'une fonction de $x$ et d'une fonction de $y$.

Exemple. $f_{X,Y}(x,y) = e^{xy}$, la densité du couple$ (X,Y)$. On peut directement en déduire que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes, $f(x,y)$ ne pouvant s’écrire comme le produit d'une fonction de $x$ et d'une fonction de $y$, peut importe la densité de $X$ ou de $Y$.