Temps d'attente entre deux pannes

malavita
malavita
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonsoir,
j'ai trouvé ce matin, dans un sujet de BTS, une question qui m'a laissé perplexe.

On note $T$ le temps, en semaines, de fonctionnement entre deux pannes d'une perceuse. On suppose que $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\frac12$. Le temps moyen entre 2 pannes est donc de 2 semaines.
La question est quel est le nombre moyen de pannes en 1 an ?

La réponse attendue est manifestement de 26...
Si ce résultat ne m'étonne pas outre mesure, je suis perplexe quand à sa justification....De façon plus générale la loi de la variable aléatoire $N$ correspondant au nombre de pannes ne me semble pas très évidente...
Bonne soirée.
F.

Réponses

  • marsup
    marsup
    Pas très évident, non. C'est ce qu'on appelle le processus de Poisson. https://fr.wikipedia.org/wiki/Processus_de_Poisson

    (la réponse c'est que le nombre $N$ de pannes en un an est de loi de Poisson $\mathcal{P}(26)$.)

    Après, le coup des 26 pannes en moyenne sur 52 semaines quand il y a en moyenne une panne toutes les deux semaines, ça me semble acceptable comme justification en BTS.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Suivant les séries de BTS, cette question peut être difficile ou quasi évidente (BTS maintenance - ou la nouvelle dénomination de ce BTS).

    Cordialement.
  • malavita
    malavita
    Merci de vos réponses,
    j'essayerais de jeter un oeil sur ces histoires de processus de Poisson
    Grosso modo si les temps d'attente entre deux pannes sont indépendants et suivent un loi de Poisson expontentielle (effectivement) de paramètre $\lambda$, alors le nombre de pannes sur une période $T$ suit une loi de Poisson de paramètres $\lambda T$.
    Ce résultat peut-il se démontrer via des conditionnements simples ou doit-on nécessairement faire appel à des "histoires" de processus ?
    Bonne journée
    F.
  • LOU16
    LOU16
    Bonjour Malavita,

    Si les temps d'attente entre deux pannes consécutives sont indépendants et suivent une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors le nombre de pannes observées dans l'intervalle $[0;T]$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda T$.
    Voici comment je vois les choses:

    $\forall T \in \R_+, \:\:\forall n \in \N,\:\:$ je note $F_n(T)$ la probabilité qu'il survienne exactement $n$ pannes dans l'intervalle $[0;T]$.
    On prouve alors par récurrence: $\:\forall T \in \R_+, \:\forall n \in\N,\:\: F_n(T) = \dfrac {(\lambda T)^n}{n!} \mathrm e ^{-\lambda T}.\quad $ Cela est vrai pour $n=0 : \:\:F_0(T) = \mathrm e ^{-\lambda T}.$
    $\forall n \in \N, \quad F_{n+1}(T) = \displaystyle \int_ 0^T \lambda \mathrm e^{-\lambda x} F_n(T-x) \:\mathrm dx = \lambda \mathrm e^{-\lambda T}\int _0 ^T \mathrm e^{\lambda x} F_n(x)\: \mathrm dx \overset {\text{hyp. de rec.}}= \lambda\mathrm e^{-\lambda T} \int_0^T \dfrac {(\lambda x)^n}{n!}\:\mathrm dx = \dfrac {(\lambda T)^{n+1}} {(n+1)!} \mathrm e^{-\lambda T}\:\square $
  • malavita
    malavita
    Super merci beaucoup ;-)

    F.
  • malavita
    malavita
    Bonjour,
    j'ai essayé de reprendre les calculs de LOU16 et j'obtiens un résultat vraisemblablement erroné. Je note $N_t$ le nombre exact de panne à l'instant $t$.

    Je commence par conditionner l'évènement $N_T=n+1$ $$

    F_{n+1}(T)=p(N_T=n+1)=\int_0^T p_{N_t=1}(N_T=n+1) \times p(N_t=1)dt.

    $$ Par indépendance des pannes, on a alors $$

    F_{n+1}(T)=\int_0^T p(N_{T-t}=n) \times p(N_t=1)dt=\int_0^T F_n(T-t) F_1(t)dt.

    $$ Ou de façon équivalente : $$

    F_{n+1}(T)=\int_0^T p(N_{t}=n) \times p(N_{T-t}=1)dt.

    $$ J'obtiens alors pour $n=0$ $$
    F_1(T)=\int_0^T F_0(T-t)F_1(t) =\int_0^T e^{-\lambda(T-t)} F_1(t)dt=e^{-\lambda T} \int_0^T e^{\lambda t} F_1(t)dt.

    $$ Pour déterminer $F_1$, je dérive alors, relativement à $T$, la relation qui précède et j'obtiens $$

    F_1'(T)=-\lambda F_1(T)+F_1(T)=(1-\lambda)F_1(T).

    $$ Ce qui devrait donner $F_1(T)=K \times e^{(1-\lambda)T}$ et tenant compte du fait que $F_1(0)=0$, $F_1(T)=0$ ... ce qui me laisse perplexe ;-)
    D'avance merci
    F.
  • marsup
    marsup
    Je ne comprends déja pas ce que dit cette équation : $$
    F_{n+1}(T)=p(N_T=n+1)=\int_0^T p_{N_t=1}(N_T=n+1) \times p(N_t=1)dt.
    $$ Par quel système complet conditionnes-tu ? les $N_t=1$ ne sont pas mutuellement exclusifs !
  • malavita
    malavita
    Oui effectivement le conditionnement marche beaucoup moins bien avec des évènements non-exclusifs ...

    J'imagine que pour obtenir un conditionnement exclusif, il doit falloir bricoler un truc avec une histoire de temps d'attente : l'évènement $N_T=n+1$ est l'union disjointe en $t$ des évènements "la panne numéro $n$ se produit à l'instant $t$ et il y a exactement une panne entre les instants $t$ et $T$".
    Le tout étant d'exprimer "la panne numéro $n$ se produit à l'instant $t$" en fonction de $N_t$ !
    Je pense à ce sujet avoir une vague idée, si je note $T_t$ l'évènement la première panne survient à l'instant $t$ :
    l'évènement $T_t$ est l'intersection des évènements $N_t=0$ et $N_{t+h} \geq 1$, la probabilité de cet évènement est alors $e^{-\lambda t} (1-e^{-\lambda h})$.
    Divisant par $h$ et faisant tendre $h$ vers 0, on obtient alors $p(T_t)=\lambda e^{-\lambda t}$.
    Ce résultat modulo un conditionnement redonne bien la formule de LOU16.

    Par contre ce divisant par $h$ me laisse un peu perplexe ... Tout éclaircissement serait donc le bienvenue ;-)
    Merci
    A+
    F.
  • LOU16
    LOU16
    Bonjour malavita.
    L'argument suivant est peut-être plus clair.

    Je conserve mes notations ainsi que celles de ton dernier message. De plus, $ \forall n \in \N^*, \:\: T_n $ désigne l'instant où survient la $n$-ième panne.

    $T_{n+1} = X+T_n$ où $X$ et $T_n$ sont les variables aléatoires indépendantes de densités respectives $t\mapsto f_1(t) =\lambda \mathrm e^{-\lambda t } $ et $\:\:t\mapsto f_n(t).\:(t\geqslant 0)$
    Ainsi, $\forall n \in \N^*,\:\: f_{n+1}(t) = (f_1\star f_n)(t)= \displaystyle \int_0 ^t \lambda \mathrm e^{-(t-x)} f_n(x) \:\mathrm dx, \:$ qui conduit, par une récurrence facile, à $\:f_n(t) =\dfrac {\lambda^n t^{n-1}}{(n-1)!} \mathrm e ^{-\lambda t}. \quad (1)$

    D'autre part,$\:\:\forall n \in \N, \:\forall T \in \R_+,\:\:\: \Pr[N_T =n] = \Pr [T_{n+1} \geqslant T]- \Pr[ T_n \geqslant T] = \displaystyle \int_ 0 ^T \left(f_n(t) - f_{n+1}(t) \right)\: \mathrm d t \overset{(1)}= \dfrac {(\lambda T)^n}{n!} \mathrm e^{-\lambda T}.$
  • malavita
    malavita
    Effectivement, c'est plus clair -;)

    Merci et a+

    F.
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