Question basique sur mesure extérieure

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dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour, un petit détail qui me bloque. Soit $\varphi :P(X)\rightarrow \bar{\mathbb{R}}_{\geq 0}$ une mesure extérieure. Alors, pour des unions disjointes finies, on a $\sum_{i\in n}\varphi(A_i)=\varphi\left(\bigsqcup_{i\in n} A_i\right)$. Comment montre-t-on cela alors que ce n'est pas un axiome contrairement aux mesures ?

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    C'est faux. Par exemple l'application $A \mapsto \text{card}(A)+1$ si $A \neq \emptyset$, $\emptyset \mapsto 0$ est une mesure extérieure sur $\mathcal P(\mathbb N)$ mais ne vérifie pas l'additivité disjointe.
  • Code_Name
    Code_Name
    Merci pour le contre-exemple. Mais si on restreint $\varphi$ sur une tribu $A_X$ sur $X$, est-ce que le résultat change pour $\varphi\mid _{A_X}:A_X\rightarrow \bar{\mathbb{R}}_{\geq 0}$?
  • Poirot
    Poirot
    Pourquoi est-ce que ça changerait ? Quelle que soit la tribu sur $\mathbb N$ contenant au moins deux parties finies disjointes la restriction de ce $\varphi$ ne vérifie pas l'additivité disjointe.
  • Code_Name
    Code_Name
    D'accord je comprends, donc je suppose que par contre ça change bel et bien pour la tribu des parties $\varphi\ \text{- mesurables}$ non?
  • Poirot
    Poirot
    Qu'est-ce qui change ? Je ne comprends pas ta question. Tu ferais mieux de nous dire d'où vient ton interrogation initiale si tu veux des précisions !
  • Foys
    Foys
    Si $\mu$ est une mesure extérieure sur l'ensemble $X$, l'ensemble $\mathcal A$ des parties $Y$ de $X$ telles que pour toute partie $E$ de $X$, $\mu (Y \cap E) + \mu(E\backslash Y) = \mu(E)$ est une tribu et la restriction de $\mu$ à cette tribu est une mesure (au sens usuel: $\sigma$- additive). Dans les bons cas on a des conditions suffisantes assez simples pour montrer ($X$ ayant une structure d'espace métrique) que les fermés de $X$ sont dans $\mathcal A$ et donc aussi tous les boréliens.

    Mais on ne peut pas espérer que $\mu$ se comporte comme une vraie mesure sur tout $\mathcal P(X)$ dans le cas général.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Code_Name
    Code_Name
    Mon questionnement a en effet avoir avec ce qu'évoque Foys, c'est-à-dire montrer que $\mu$ est une mesure sur $Y$. Dans la preuve de mon cours il y a un détail que je ne comprend pas, c'est en rapport avec ce que j'évoque, c'est la fin de la preuve. Si vous avez des explications je suis preneur, sinon je cherche en ligne d'autres preuves.97880
  • Poirot
    Poirot
    J'imagine que $\mathcal A_{\varphi}$ désigne l'ensemble des parties $\varphi$-mesurables. La restriction de $\varphi$ à cet ensemble est bien finiment additive, ça provient de la définition !

    Soient $A$ et $B$ deux partis $\varphi$-mesurables disjointes. Alors $$\varphi(A \cup B) = \varphi((A\cup B) \cap A)) + \varphi((A \cup B) \setminus A) = \varphi(A) + \varphi(B).$$ Le cas général suit par récurrence.
  • Code_Name
    Code_Name
    Merci beaucoup.
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