Séance de tir à l'arc

OShine
OShine
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

N'ayant pas eu le temps de réviser la partie probabilité, j'ai lu les formules mais je ne comprends pas quelle formule utiliser pour résoudre les questions suivantes.

On considère 2 archers $A_1$ et $A_2$ qui tirent chacun sur une cible de manière indépendante. L'archer $A_1$ (respectivement $A_2$) touche sa cible avec une probabilité $p_1$ (repectivement $p_2$) strictement comprise entre $0$ et $1$. On suppose de plus que les tirs des joueurs sont indépendants les uns des autres. On appelle $X_1$ (respectivement $X_2$) la variable aléatoire donnant le nombre de tirs nécessaires à l'archer $A_1$ (respectivement $A_2$) pour qu'il touche sa cible pour la première fois. On note $q_1=1-p_1$ et $q_2=1-p_2$.
On a $X(\Omega)= \N^{*}$

On a calculé précédemment :

$P(X_1=k)=p_1 q_1 ^{k-1}$ , $P(X_2=k)=p_2 q_2 ^{k-1}$

$P(X_1 > k)=q_1 ^k$

1/ Calculer $P(X_1 =X_2)$
2/ Calculer $P(X_1 >X_2)$
3/ Calculer $P(X_2 >X_1)$

Réponses

  • P.
    P.
    L'auteur de l'exo n'est pas fort en orthographe.


    'Je n'ai pas travaille et je ne sais quelle formule utiliser.' Qui a envie de t'aider?
  • OShine
    OShine
    J'ai corrigé mes erreurs d'orthographe, vous citez mon ancien message.

    J'ai lu le chapitre de probabilités rapidement, il y a énormément de formules indigestes, je ne sais pas quelle formule utiliser.
  • Math Coss
    Math Coss
    Bis : en général, avant de vouloir utiliser une formule, on essaie d'ingérer et digérer un minimum les concepts – idées – du cours.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour
    Que tu ne saches pas faire un exo niveau terminale en préparant le CAPES, passe encore, mais tu pourrais comprendre qu'un exo de proba ne va pas dans le sous-forum Analyse.
    Cordialement,
    Rescassol

    [Discussion déplacée. AD]
  • raoul.S
    raoul.S
    @OShine pour la 1) : $P(X_1 =X_2)=P(X_1=1, X_2=1)+P(X_1=2, X_2=2)\,+...$ et vu que $X_1,X_2$ sont indépendantes...
  • malavita
    malavita
    Pour la 2, c'est le même principe $$

    p(X_2>X_1) = \sum_{ k \geq 1} \sum_{i >k} p(X_2=i,X_1=k) \ldots

    $$ A+
    F.
  • OShine
    OShine
    Niveau terminale ? Il y a des sommes infinies.

    @MathCoss
    Je n'ai pas vraiment le temps de travailler la partie probabilité, j'essaie d'assimiler 2-3 concepts rapidement et quelques formules.

    @Malavita
    Votre formule a l'air compliquée et je ne l'a comprends pas vraiment.

    Le corrigé donne une formule que je ne retrouve pas dans mon bouquin, je sais pas d'où elle sort :

    $P(X_1 = X_2)= \displaystyle\sum_{k=1}^{+ \infty} P((X_1 =k ) \cap ( X_2 =k))$
  • OShine
    OShine
    Comment s'appelle la formule utilisée par le corrigé ?
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    La somme des termes d'une suite géométrique est du programme de terminale, ainsi que sa limite.

    Cordialement,

    Rescassol
  • raoul.S
    raoul.S
    Comment s'appelle la formule utilisée par le corrigé ?

    Je ne sais pas si elle porte un nom mais elle découle de la sigma-additivité des mesures de probabilités.

    Tu connais la sigma-additivité https://fr.wikipedia.org/wiki/Sigma_additivité ?
  • malavita
    malavita
    Pour cette fameuse formule dans quels cas a-t-on $X_1=X_2$ ?

    Du coup l'évènement $X_1=X_2$ est l'union disjointe des évènements $A_k=(X_1=k) \cap (X_2=k)$ pour $k$ entier naturel, ajoutons à cela l'indépendance de $X_1$ et $X_2$ et la célèbre $\sigma$-additivité de Raoul....

    A+

    F.

    PS: La $\sigma$-additivité n'est que la généralisation de la formule $p(A \cup B)=p(A)+p(B)$ à une union dénombrable d'évènement deux à deux incompatibles. (je suppose donc implicitement dans la formule que j'énonce que $A \cap B=\emptyset $)
  • OShine
    OShine
    @C'est un sujet de CAPES mais si vous dites que c'est niveau terminale je vous crois. Je vais réviser les probabilités de terminale ça devrait suffire.

    Ok merci c'est plus clair je ne savais pas que l’événement $X_1=X_2$ était l'évènement $A_k=(X_1=k) \cap
    (X_2=k)$ pour $k$ entier naturel.

    Si j'essaie d'adapter, pour $X_1 > X_2$ , c'est l’événement $B_k = (X_2 =k) \cap (X_1 >k)$ ?
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Tu ne me feras pas croire qu'un exo de trois questions est un sujet de CAPES, ou alors tu confonds sujet de CAPES et morceau de sujet de CAPES.
    Il y a une bonne trentaine d'année, il était demandé dans un sujet de CAPES de démontrer que les milieux des côtés d'un quadrilatère formaient un parallélogramme. C'était de quel niveau, d'après toi ?
    J'avais à l'époque un collègue qui n'a pas su faire cette question et qui l'a eu quand même, comme quoi, tout est possible.

    Cordialement,

    Rescassol
  • P.
    P.
    OShine écrivait :
    > Ok merci c'est plus clair je ne savais pas que l’événement $X_1=X_2$ était l'évènement
    > $A_k=(X_1=k) \cap (X_2=k)$ pour $k$ entier naturel.

    Faché avec la logique il me semble: $A_k\neq \cup_{n=1}^{\infty}A_n.$
  • marsup
    marsup
    les milieux des côtés d'un quadrilatère formaient un parallélogramme.

    il faut le voir pour le croire !97904
  • Math Coss
    Math Coss
    Pas très surprenant. D'un côté, comme $E$ est le milieu de $[AB]$, c'est-à-dire le barycentre de $\{(A,1),(B,1)\}$, et $G$ celui de $\{(C,1),(D,1)\}$, le milieu de $[EG]$ est le barycentre de $\{(A,1),(B,1),(C,1),(D,1)\}$. De l'autre, $F$ est le barycentre de $\{(B,1),(C,1)\}$ et $H$ celui de $\{(A,1),(D,1)\}$ donc le milieu de $[FH]$ est le barycentre de $\{(B,1),(C,1),(A,1),(D,1)\}$. Ben, c'est pareil !
  • OShine
    OShine
    Je ne sais pas le démonter non plus. C'est un concours, on est pas supposé tout réussir.
    Les personnes qui passent le CAPES ne sont pas tous très doués, il y a des personnes comme moi qui ne comprennent pas tout et qui ont certaines difficultés.

    @P.

    Vous avez raison. Je corrige : $ X_1 = X_2$ est l’événement $\bigcup_{k \in \N^{*}} (X_1 =k) \cap (X_2=k)$
  • marsup
    marsup
    Ah oui les diagonales se coupent en leur milieu, j'ai appris ça en quatrième ! (si je me rappelle bien, c'était en 1997)
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Ben oui, j'ai un copain qui fait ça en 4ième.
    Faut avoir entendu parler du théorème des milieux dans un triangle et penser à tracer les diagonales du quadrilatère, mais c'est un exo de base en 4ième.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Dom
    Dom
    Les théorèmes des milieux ne sont plus dans les programmes de collège.
    On en parle un peu sans dire qu’il faut le voir.
  • gerard0
    gerard0
    C'est un exercice classique qui peut se placer à différents niveaux (segments des milieux, vecteurs, barycentre, ..). Bien pratique !
    O Shine a écrit:
    Je ne sais pas le démonter non plus. C'est un concours, on est pas supposé tout réussir.
    Les personnes qui passent le CAPES ne sont pas tous très doués, il y a des personnes comme moi qui ne comprennent pas tout et qui ont certaines difficultés.
    Doit-on vraiment les prendre comme profs ??

    Cordialement.
  • OShine
    OShine
    Vous avez sûrement raison, mais le programme de MPSI est très dense, et il n'y a pas vraiment de géométrie.

    Ils ont choisi de mettre des probabilités. Avant il y avait un peu de géométrie je crois.

    Sinon concernant le sujet du CAPES de mathématiques 2019, vous avez raison la partie probabilité est du niveau terminale. Les questions sont faciles et les calculs sont simples. C'est toujours la loi binomiale.
    Il suffit de connaître quelques formules vues en terminale comme la formule des probabilités totales.
  • noobey
    noobey
    Sois pas de mauvaise foi y a une partie C et D qui n'ont pas l'air de traiter que des lois binomiales
  • OShine
    OShine
    @Noobey

    C'est un peu toujours les mêmes types de raisonnements.

    Il faut savoir manipuler les probabilités du style $P(X \geq n)$ , $P(Z<n)=1- P(z \geq n)$

    Je vais relire un cours de terminale S.
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