Probabilité à 2 dimensions

IchigoKurosaki14 · March 2020

Bonsoir
Je fais appel à vous pour savoir si vous pouviez m'aider sur la résolution d'un exercice de proba à 2 dimensions. Voici l'énoncé.

Déterminer la probabilité P(X+Y < z ) si la fonction de densité de probabilité est donnée par :
f(x,y) = e^(-x-y) si x et y positifs et
f(x,y) = 0 sinon.

Je ne vois pas quelle formule utiliser lorsqu'il y a une somme (X+Y). Est-ce que je peux poser X+Y = Z et faire comme si j'avais une fonction à une seule variable ?
Merci d'avance !

marsup · March 2020

C'est-à-dire la fonction de répartition de la somme indépendante $S$ de deux exponentielles $X,Y \hookrightarrow E(1)$ ?

Je crois que ça fait $P(S\le s) = 1-(1+s) \cdot e^{-s}$, pour $s \ge 0$. (loi d'Erlang)

Le mieux c'est de calculer l'intégrale double $\displaystyle\int_{x,y \ge 0} ^{x+y \le s} e^{-(x+y)} dx \, dy$.

Riemann_lapins_cretins · March 2020

Dans le cas discret on a la formule :
P(X + Y = n) = somme des P(X = k).P(Y = n-k)
(X et Y étant évidemment supposées indépendantes).

Pour répondre à ta question qui est plus générale que le cas d'une somme de lois exponentielles, on peut montrer qu'on a l'analogue de la formule précédente pour les lois de densité. Si X et Y ont densité fX et fY respectivement, et sont indépendantes, alors X+Y a la densité f donnée par :

f(x) = integrale de fX(x-t).fY(t) dt

Cette quantité est en fait le produit de convolution de fX par fY si tu veux faire tes recherches.

Probabilité à 2 dimensions

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