Théorème central limite
Bonjour
Soit $(X_n)_n$ une suite de v.a.r.i.i.d et de carré intégrable. Soit $\alpha>0,Y_n=\frac{1}{n^{\alpha+1/2}}\sum_{k=1}^nk^\alpha X_k.$
On désire prouver que $Y_n$ converge en loi vers une v.a.r $Y$ de loi $N(0;\frac{\sigma^2}{2\alpha+1})$ où $\sigma^2$ est la variance de $X_1.$
Je pense que la meilleure méthode pour vérifier cela, est d'utiliser les fonctions caractéristiques, on a $$
\varphi_{Y_n}(x)=\prod_{k=1}^n\varphi_{X_1}\Big(\frac{xk^\alpha}{n^{\alpha+1/2}}\Big).
$$ Alors savez-vous comment prouver la convergence de ce produit ?
Merci d'avance.
Soit $(X_n)_n$ une suite de v.a.r.i.i.d et de carré intégrable. Soit $\alpha>0,Y_n=\frac{1}{n^{\alpha+1/2}}\sum_{k=1}^nk^\alpha X_k.$
On désire prouver que $Y_n$ converge en loi vers une v.a.r $Y$ de loi $N(0;\frac{\sigma^2}{2\alpha+1})$ où $\sigma^2$ est la variance de $X_1.$
Je pense que la meilleure méthode pour vérifier cela, est d'utiliser les fonctions caractéristiques, on a $$
\varphi_{Y_n}(x)=\prod_{k=1}^n\varphi_{X_1}\Big(\frac{xk^\alpha}{n^{\alpha+1/2}}\Big).
$$ Alors savez-vous comment prouver la convergence de ce produit ?
Merci d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Il peut être utile de savoir que pour des nombres complexes de module <=1, le module de la différence des produits est plus petit que la somme des modules des différences.
\Big|\prod_{k=1}^n\varphi_{X_1}(\frac{xk^\alpha}{n^{\alpha+1/2}})-\prod_{k=1}^n(1-\frac{x^2k^{2\alpha}}{n^{2\alpha+1}})\Big| \leq \sum_{k=1}^n\Big|\varphi_{X_1}(\frac{xk^\alpha}{n^{\alpha+1/2}})-(1-\frac{x^2k^{2\alpha}}{n^{2\alpha+1}})\Big| \leq \frac{1}{n^{3\alpha+3/2}} \sum_{k=1}^n |x|^3 k^{3\alpha},$$ avec $\lim_n\frac{1}{n^{3\alpha+3/2}} \sum_{k=1}^n |x|^3 k^{3\alpha}=0$ (par comparaison série-intégrale).
Il reste à évaluer $\lim_n \prod_{k=1}^n(1-\frac{x^2k^{2\alpha}}{n^{2\alpha+1}})$
Avez-vous une idée comment calculer ce produit ?