$\delta$-Méthode
Bonjour,
Si $(X_n)_n$ est une suite de v.a.i.i.d à valeurs dans $\mathbb{R}^p,$ et de carré intégrable, on note $\overline{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k,$ le TCL multidimensionnelle affirme que $\sqrt{n}(\overline{X}_n-E[X_1])$ converge en loi vers $N(0,K)$ où $K$ est la metrice de covariance de $X_1.$ Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^q.$
Je cherche les conditions sur $f$ pour appliquer la $\delta$-méthode pour que $\sqrt{n}(f(\overline{X}_n)-f(E[X_1]))$ converge en loi, $f$ doit-elle etre différentiable en $E[X_1]$? Ou suffit-il d'avoir uniquement des dérivées partielles premières en $E[X_1]$?
Merci d'avance.
Si $(X_n)_n$ est une suite de v.a.i.i.d à valeurs dans $\mathbb{R}^p,$ et de carré intégrable, on note $\overline{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k,$ le TCL multidimensionnelle affirme que $\sqrt{n}(\overline{X}_n-E[X_1])$ converge en loi vers $N(0,K)$ où $K$ est la metrice de covariance de $X_1.$ Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^q.$
Je cherche les conditions sur $f$ pour appliquer la $\delta$-méthode pour que $\sqrt{n}(f(\overline{X}_n)-f(E[X_1]))$ converge en loi, $f$ doit-elle etre différentiable en $E[X_1]$? Ou suffit-il d'avoir uniquement des dérivées partielles premières en $E[X_1]$?
Merci d'avance.
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Réponses
Ce raisonnement est vrai si on suppose que $f$ est différentiable en $\mu,$ est ce qu'on a le meme résultat si on suppose que les dérivées partielles premières existent en $\mu$? (Sans hypothèse de différentiabilité)