Intégrale non nulle

Ça ne suffit pas parce que $\lambda$ est à valeurs complexes.

L'idée, c'est que pour $t$ proche de $0$, $\lambda(t)$ est proche de $\lambda(0)$ donc $\int_0^\alpha\lambda(t)\mathrm{d}t$ est proche de $\int_0^\alpha\lambda(0)\mathrm{d}t=\alpha\lambda(0)$. On va quantifier ça.
Par continuité, $\bigl|\lambda(t)-\lambda(0)\bigr|\le\dfrac{\bigl|\lambda(0)\bigr|}{3}$ pour $t$ dans un intervalle $[0,\alpha]$ avec $\alpha>0$ suffisamment petit.
En intégrant : \[
-\left|\int_0^\alpha\lambda(t)\mathrm{d}t\right|+\left|\alpha\lambda(0)\right|
\le\left|\int_0^\alpha\lambda(t)\mathrm{d}t-\alpha\lambda(0)\right|\le\int_0^\alpha\bigl|\lambda(t)-\lambda(0)\bigr|\mathrm{d}t\le\frac{\bigl|\alpha\lambda(0)\bigr|}{3}\]d'où l'on conclut facilement.